# 矩阵空间与矩阵函数

# 度量空间

回忆完备度量空间指的是配备完备度量的度量空间。

定义： 设 $X$ 是一个非空集合。设 $\mathrm d:X\times X\to [0,\infty)$ 是一个映射满足：

1. 正定性： $\mathrm d(x,y)=0\iff x=y$
2. 对称性： $\mathrm d(x,y)=\mathrm d(y,x)$
3. 三角不等式：$\mathrm d(x,z)\leq \mathrm d(x,y)+\mathrm d(y,z)$

则称 $\mathrm d$ 是 $X$ 上的一个 度量 或者 距离。称 $(X,\mathrm d)$ 是一个 度量空间。

定义： 设 $(X,\mathrm d)$ 是度量空间，$x_n,x\in X$，称序列 $\{x_n\}$ 收敛 到 $x$，记为 $x_n\to x$，如果

$$\mathrm d(x_n,x)\to 0,\ n\to\infty$$

称 $\{x_n\}\subset X$ 是一个 Cauchy 列，如果

$$\mathrm d(x_n,x_m)\to 0,\ m,n\to\infty$$

称 $\mathrm d$ 是 完备度量，如果对任意的 Cauchy 列均存在 $x\in X$，使得 $x_n\to x$。

定义： 设 $(X,d)$ 和 $(Y,\rho)$ 是两个度量空间，设 $T:X\to Y$，称 $T$ 在点 $x_0\in X$ 连续，如果

$$T(x_n)\to T(x),\ x_n\to x_0$$

进一步，称 $T$ 是 连续映射，如果 $T$ 在任意点 $x\in X$ 连续。

# 矩阵空间

聚焦于矩阵空间，其中 $M_d(\mathbb R)$ 是 $d$ 阶方阵构成的 $\mathbb R$ - 线性空间，方阵元素均为 $\mathbb R$ 上的元素。

定义：$M_d(\mathbb R)$ 上定义 矩阵范数

$$||A||:=\sup_{|x|=1}|Ax|$$

这诱导出 矩阵度量

$$\mathrm d(A,B):=||A-B||$$

易于验证 $(M_d(\mathbb R),||\cdot ||)$ 是一个完备度量空间。

性质： 范数具有下列性质：$\forall A,B\in M_d(\mathbb R),\lambda \in\mathbb R$

1. $||\lambda A||=|\lambda |||A||$
2. $||A+B||\leq ||A||+||B||$
3. $||AB||\leq ||A||\cdot||B||$

特别地 $\forall n\in\mathbb N$，有

$$||A^n||\leq ||A||^n$$

定义： 设 $A_n\in M_d(\mathbb R)$，$\displaystyle \sum^\infty_{n=1} A_n$ 是一个 矩阵值级数。称它 收敛，如果 $\exists A\in M_d(\mathbb R)$

$$S_n:=\displaystyle\sum^n_{j=1}A_j\to A\in M_d(\mathbb R),\text{ as } n\to\infty$$

记为 $\displaystyle \sum^\infty_{n=1}A_n=A$。称 绝对收敛，如果 $\displaystyle \sum^\infty_{n=1}||A_n||$ 收敛

性质： 设 $A_n\in M_d(\mathbb R)$，如果 $\displaystyle \sum^\infty_{n=1}A_n$ 绝对收敛，则 $\displaystyle \sum^\infty_{n=1} A_n$ 收敛。

例子：（几何级数）设 $A\in M_d(\mathbb R)$ 满足 $||A||<1$，则 $\displaystyle \sum^\infty_{n=0}A^n$ 收敛且 $I-A$ 可逆

$$\sum^\infty_{n=0}A^n=(I-A)^{-1}$$

例子：（指数级数）设 $A\in M_d(\mathbb R)$，则以下级数绝对收敛，并记为 矩阵指数

$$e^A:=\sum^\infty_{n=0}\dfrac {A^n}{n!}$$

# 矩阵函数

# 矩阵指数

性质： 给出特殊方阵的矩阵指数

1. 对角阵：设 $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,...,\lambda_d)$

$$e^D=\mathrm{diag}(e^{\lambda_1},...,e^{\lambda_d})$$

$$e^{tD}=\mathrm{diag}(e^{t\lambda_1},...,e^{t\lambda_d})$$

2. 幂零阵：设 $N_d$ 是 $d$ 阶幂零矩阵

$$e^N=\sum^\infty_{n=0}\dfrac{N^n}{n!}=\sum^{d-1}_{n=0}\dfrac{N^n}{n!}=\begin{bmatrix}1&1&\tfrac1{2!}&\ddots&\tfrac1{(d-1)!}\\&1&1&\ddots&\ddots\\&&\ddots&\ddots&\tfrac1{2!}\\ &&&1&1\\&&&&1\end{bmatrix}$$

$$e^{tN}=\sum^{d-1}_{n=0}\dfrac{(tN)^n}{n!}=\begin{bmatrix}1&t&\tfrac{t^2}{2!}&\ddots&\tfrac{t^{d-1}}{(d-1)!}\\&1&t&\ddots&\ddots\\&&\ddots&\ddots&\tfrac{t^2}{2!}\\ &&&1&t\\&&&&1\end{bmatrix}$$

性质： 设 $A,B\in M_d(\mathbb R)$，满足 $AB=BA$，则

$$e^{A+B}=e^Ae^B=e^Be^A$$

推论： $\forall A\in M_d(\mathbb R)$，则 $e^A$ 可逆，且

$$e^Ae^{-A}=e^{-A}e^A=I$$

例子：（旋转矩阵）设 $J$，其矩阵指数为

$$J=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}$$

$$e^{bJ}=\begin{bmatrix}\cos b &\sin b\\ -\sin b&\cos b\end{bmatrix}:=R_b$$

例子：（Jordan 块）设 $d$ 阶 Jordan 块为 $J_\lambda(d):=\lambda I_d+N_d$，其矩阵指数为

$$e^{J_\lambda(d)}=e^{\lambda I_d}e^{N_d},\quad e^{tJ_\lambda(d)}=e^{t\lambda}e^{tN_d}$$

性质： $\forall A\in M_d(\mathbb R)$，$e^{tA}$ 关于 $t$ 无穷阶光滑。换言之，定义矩阵值函数

$$\phi_A:\mathbb R\to M_d(\mathbb R),\ \phi_A(t):=e^{tA}$$

则 $\phi\in C^\infty$，且

$$\phi^{(n)}(t)=A^n\phi(t)=\phi(t)A^n$$

推论： $A\in M_d(\mathbb R)$，定义 $\phi:\mathbb R\times \mathbb R^d\to \mathbb R^d$ 为

$$\phi(t,z):=e^{tA}z$$

则 $\phi$ 是 $\mathbb R^d$ 上的一个光滑流。

# 矩阵指数与 Jordan 标准型

性质： $A$ 与 $B$ 相似，且可逆矩阵 $P$ 使得 $A=PBP^{-1}$，那么

$$e^A=Pe^{B}P^{-1}$$

# 实 Jordan 标准型

性质： 设 $A\in M_d(\mathbb R)$ 的 Jordan 分解为

$$A=P\mathrm{diag}(J_1,...,J_r)P^{-1}$$

则

$$e^A=P\mathrm{diag}(e^{J_1},...,e^{J_r})P^{-1}$$

特别地，若 $A$ 的特征值集合（记重数）为 $\{\lambda_1,...,\lambda_d\}$，则 $e^A$ 的特征值集合为

$$\{e^{\lambda_j}:1\leq j\leq d\}$$

性质：（相流体积） 设 $A\in M_d(\mathbb R)$

$$\mathrm{det\ }e^{tA}=e^{t\mathrm{\ tr A}}$$

# 复 Jordan 块的实化

性质： 设 $A\in M_d(\mathbb R)$ 的 Jordan 分解为（$P,J_i\in M_d(\mathbb C)$）

$$A=P\mathrm{diag}(J_1,...,J_r)P^{-1}$$

分块有以下不同的种类

1. $d\geq 1$ 阶实特征值 Jordan 块
2. $d=1$ 阶复特征值 Jordan 块：$\lambda=a+bi,\ \bar\lambda$，事实上 $A$ 的实标准型中有对应的分块

$$\begin{bmatrix}\lambda\\&\bar\lambda\end{bmatrix}\to \begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}:=B$$

3. $d\geq 2$ 阶复特征值 Jordan 块：$\lambda=a+bi$，不妨设其中一块 $m$ 阶 $\lambda$-Jordan 块为 $J_{\lambda}(m)$。那么存在共轭的同规模的 Jordan 块 $J_{\bar\lambda}$，事实上 $A$ 的实标准型中有对应的分块

$$\begin{bmatrix}J_{\lambda}&\\&J_{\bar \lambda}\end{bmatrix}\to \begin{bmatrix}B&I&\\&\ddots &\ddots\\&&B&I\\&&&B\end{bmatrix}:=J_B(m)=D_B(m)+N(m)$$

性质： $\forall m\geq 1$，$DN=ND$，且有 $J_B(m)=D_B(m)+N(m)$，从而

$$e^{J_B(m)}=e^B\cdot \begin{bmatrix}I&I&\tfrac{I}{2!}&\ddots&\tfrac{I}{(m-1)^2}\\&I&I&\ddots&\ddots\\&&\ddots&\ddots&\tfrac{I}{2!}\\&&&I&I\\&&&&I\end{bmatrix}$$

其中的 $\cdot$ 点乘将 $e^B$ 看成一个系数，与矩阵的每一个 $I$ 相乘。

综上，有实相似标准型

性质： 设 $A\in M_d(\mathbb R)$，则存在 $Q\in M_d(\mathbb R)^\times$，使得有 $A$ 的实 Jordan 分解

$$A=Q\begin{bmatrix}J_1\\&\ddots \\&&J_r\end{bmatrix}Q^{-1}$$

其中 $J_k$ 形如 $J_{\lambda(\in\mathbb R)}(m),\ \lambda\in\mathbb R,\ J_B(m)$ 三者之一。进一步有

$$e^A=Q\begin{bmatrix}e^{J_1}\\&\ddots \\&&e^{J_r}\end{bmatrix}Q^{-1}$$

具体每个 Jordan 块的计算方法都已经给出。

# 矩阵对数

定义： 设 $z\in\mathbb C^\times$，定义其对数

$$\ln z=\ln |z|+i\arg z$$

不同于实数域上的对数，复数域上的对数值是多值的，可以定义主值的复对数函数

$$\mathrm{Ln} z=\ln |z|+i \mathrm{Arg} z$$

定义： 设 $A\in M_d(\mathbb C)$，如果 $\exists B\in M_d(\mathbb C)$，使得如下成立，则称 $B$ 是 $A$ 的 对数

$$A=e^B$$

性质： 设 $A\in M_d(\mathbb C)$，则 $A$ 存在对数当且仅当 $\det A\neq 0$.

性质： $A\in M_d(\mathbb C)$，则存在 $B\in M_d(\mathbb C)$，使得 $e^B=A$ 当且仅当 $\det A\neq 0$

自然地提出问题：对于 $A\in M_d(\mathbb R)$，是否可以找到 $B\in M_d(\mathbb R)$，使得 $A=e^B$ ？

性质： 设 $A\in M_d(\mathbb R)^\times$，则

1. （含有负特征值的情况）存在 $B\in M_d(\mathbb R)$，使得 $A=e^B$ 当且仅当若 $\lambda<0$ 是 $A$ 的特征值且 $J_\lambda(m)$ 出现在 $A$ 的 Jordan 标准型中，则其必出现偶数次；
2. （无负特征值的情况）若 $A$ 无负特征值，则存在 $B\in M_d(\mathbb R)$，使得 $A=e^B$；
3. 必存在 $B\in M_d(\mathbb R)$，使得 $A^2=e^B$.

# 一般线性系统

# 常系数线性方程

# 一阶常系数线性方程

性质： $A\in M_d(\mathbb R)$，初值问题

$$\mathcal I(0,z):\ \dot x=Ax;\quad x(0)=z$$

其解在 $\mathbb R$ 存在且唯一

$$\phi(t,z)=e^{tA}z$$

此外，本系统的相流存在且光滑。

性质： $A\in M_d(\mathbb R)$，设 $I\subset \mathbb R$ 是一个区间，设 $b(t)\in C(I;\mathbb R^d)$。任取 $s\in I,z\in\mathbb R^d$。记以下初值问题

$$\mathcal I(s,z):\ \dot x=Ax+b(t);\quad x(s)=z$$

其解为

$$\phi(t,s,z)=e^{(t-s)A}z+\int^t_se^{A(t-\tau)}b(\tau)\mathrm d\tau$$

解在定义域 $I\times I\times \mathbb R^d$ 上连续。

# 高阶常系数线性方程

# 高阶方程与一阶方程组

定义： $U\subset \mathbb R^{d+1}$ 为开集。设 $h\in C(U;\mathbb R)$。考虑如下形式的 $d$ 阶 ODE

$$x^{(d)}=h(t,x,x',...,x^{(d-1)})$$

称 $\phi:I\to \mathbb R$ 是一个解，如果 $\phi\in C^d$，对每个 $t\in I$ 有

$$(t,\phi(t),...,\phi^{(d-1)}(t))\in U$$

且满足

$$\phi^{(d)}(t)=h(t,\phi(t),\phi'(t),...,\phi^{(d-1)}(t))$$

定义： $U\subset \mathbb R^{d+1}$ 为开集，设 $h\in C(U;\mathbb R)$。设 $(s,z)\in U$。称

$$\mathcal I(s,z,h):\left\{\begin{array}{ll}x^{(d)}=h(t,x,x',...,x^{(d-1)})\\ \\ (x(s),x'(s),...,x^{(d-1)}(s))=z\end{array}\right.$$

是一个 $d$ - 阶初值问题。称 $\phi: I\to\mathbb R$ 是 $\mathcal I(s,z,h)$ 的一个解，如果 $\phi$ 是

$$x^{(d)}=h(t,x,x',...,x^{(d-1)})$$

的解，同时满足

$$\phi^{\langle d\rangle}(t):=(\phi(s),\phi'(s),...,\phi^{(d-1)}(s))=z$$

性质： 上述给出的 $d$ - 阶初值问题 $\mathcal I(s,z,h)$ 可以转化为 $1$ 阶初值问题。定义 $f\in C(U;\mathbb R^d)$

$$f(t,x)=f(t,x_1,...,x_d):=(x_2,...,x_d,h(t,x))$$

对应着 $1$ 阶初值问题

$$\mathcal I(s,z,f):\ \dot x=f(t,x);\quad x(s)=z$$

设 $U\subset \mathbb R^{d+1}$ 为开集，设 $h\in C(U,\mathbb R)$，则

1. 若 $\phi$ 是 $\mathcal I(s,z,h)$ 的解，则 $\phi^{\langle d\rangle}$ 是 $\mathcal I(s,z,f)$ 的解
2. 若 $\psi=(\psi_1,...,\psi_d)$ 是 $\mathcal I(s,z,f)$ 的解，则 $\psi=\psi_1^{\langle d\rangle}$ 且是 $\mathcal I(s,z,h)$ 的解
3. 初值问题 $\mathcal I(s,z,h)$ 有唯一解当且仅当初值问题 $\mathcal I(s,z,f)$ 有唯一解

# 高阶常系数线性方程

定义： 设 $a=(a_0,...,a_{d-1})\in\mathbb R^d$，则 $I$ 为区间，$b(t)\in C(I;\mathbb R)$。称如下 ODE

$$x^{(d)}=\sum^{d-1}_{j=0}a_jx^{(j)}+b(t)$$

为一个 $d$ - 阶常系数线性 ODE。若 $b\equiv 0$，称该 ODE 为 齐次 ODE。

性质： 取 $(s,z)\in I\times \mathbb R^d$，考虑初值问题

$$\mathcal I(s,z;a,b):\ x^{(d)}=\sum^{d-1}_{j=0}a_jx^{(j)}+b(t);\quad x^{\langle d\rangle}(s)=z$$

则记

$$A_a:=\begin{bmatrix}&1\\&&1\\&&&\ddots\\&&&&1\\a_0&a_1&a_2&\cdots&a_{d-1}\end{bmatrix};\quad B(t):=\begin{bmatrix}0\\0\\ \vdots \\0\\b(t)\end{bmatrix}$$

则以下初值问题的解记为 $\psi=(\psi_1,...,\psi_d)$（利用矩阵是可解的，这里仅给出形式）

$$\dot x=A_ax+B(t);\quad x(s)=z$$

那么初值问题 $\mathcal I(s,z;a,b)$ 的解为 $\psi_1$

性质： 设 $a\in \mathbb R^d$，$A_a$ 的每个特征值的几何重数均为 $1$。

# 变系数线性方程

# 非自治（变系数）线性方程

性质： 取 $A(t)\in C(I,M_d(\mathbb R))$，$B\in M_d(\mathbb R)$，定义矩阵变量的初值问题

$$\mathcal I(s,B;A):\ \dot X=A(t)X;\quad X(s)=B\in M_d(\mathbb R)$$

记其解为 $\Pi(t,s,B)$，易知在 $I$ 上存在唯一，且 $\Pi\in C(I\times I\times M_d(\mathbb R),M_d(\mathbb R))$。当 $B=I_d$ 时，简记

$$\Pi(t,s):=\Pi(t,s,I_d)$$

性质： 上述定义的 $\Pi$ 有如下性质

1. $\Pi\in C^1(I\times I)$
2. $\Pi$ 有如下流性质：$\forall \tau,s,t\in I$

$$\Pi(t,\tau)=\Pi(t,s)\Pi(s,\tau)$$

特别地，$\Pi(t,s)$ 可逆且

$$\Pi(t,s)^{-1}=\Pi(s,t)$$

3. 对任意的 $(s,z)\in I\times \mathbb R^d$，初值问题

$$\mathcal I(s,z;A):\ \dot x=A(t)x;\quad x(s)=z$$

的解 $\phi(t,s,z)$ 在定义域 $I\times I\times \mathbb R^d$ 上为 $C^1$ 光滑且

$$\phi(t,s,z)=\Pi(t,s)z$$

4. 对任意的 $(s,z)\in I\times \mathbb R^d$，初值问题

$$\mathcal I(s,z;A,b):\ \dot x=A(t)x+b(t);\quad x(s)=z$$

的解 $\psi(t,s,z)$ 在定义域 $I\times I\times \mathbb R^d$ 上为 $C^1$ 光滑且

$$\psi(t,s,z)=\Pi(t,s)z+\int^t_s\Pi(t,\tau)b(\tau)\mathrm d\tau$$

例子： 对于初值问题 $\mathcal I(s,B;A)$，$\Pi(t,s)$ 在各类情形下的具体形式：

1. 自治（常系数）情形：$A(t)\equiv A$

$$\Pi(t,s)=e^{(t-s)A}$$

2. 一维非自治（变系数）情形：$d=1$

$$\Pi(t,s)=e^{\int^t_sa(\tau)\mathrm d\tau}$$

3. 一般情形：利用 Picard 迭代

$$\Pi(t,s)=I+\sum^\infty_{m=1}\int^t_s\cdots \int^{\tau_{n-1}}_{s}A(\tau_1)\cdots A(\tau_n)\mathrm d\tau_n\cdots \mathrm d\tau_1$$

4. 如果还满足额外的交换性条件 $A(t)A(t')=A(t')A(t)$：

$$\Pi(t,s)=e^{\int^t_sA(\tau)\mathrm d\tau}$$

性质： 对于 $\Pi(t,s)$，有

$$\det \Pi(t,s)=e^{\int^t_s\mathrm{tr}A(\tau)\mathrm d\tau}$$

# 齐次线性方程的解结构

定理： 设 $I$ 为非空区间，设 $A\in C(I;M_d(\mathbb R))$。则系统

$$\dot x=A(t)x$$

的所有解构成一个 $d$ 维实线性空间，且任意固定 $s\in I$，矩阵值函数 $\Pi(t,s)$ 的 $d$ 个列向量构成解空间的一组基。

# 非齐次线性方程的解结构

# 周期系数线性方程

# 相流