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ϕ:V→Rd\phi:V\to \mathbb R^d

# 关于初值光滑

ϕ∈C1(V)\phi \in C^1(V)

即有如下的偏导数光滑

∂ϕ∂t,∂ϕ∂s,∂ϕ∂z∈C(V)\dfrac{\partial \phi}{\partial t},\dfrac{\partial \phi}{\partial s},\dfrac{\partial \phi}{\partial z}\in C(V)

而第三项是一个方阵，我们希望考虑关于初值光滑

从积分方程出发

ϕ(t,s,z)=z+∫stf(τ,ϕ(τ,s,z))dτ\phi(t,s,z)=z+\int ^t_sf(\tau,\phi(\tau,s,z))\mathrm d\tau

我们假定偏导是存在的，想看看是什么样子（这里需要注意导数交换

∂ϕ∂z(t,s,z)=Id+∫st∂f∂x(τ,ϕ(τ,s,z))∂ϕ∂z(τ,s,z)dτ\dfrac{\partial \phi}{\partial z}(t,s,z)=I_d+\int^t_s\dfrac{\partial f}{\partial x}(\tau,\phi(\tau,s,z))\dfrac{\partial \phi }{\partial z}(\tau,s,z)\mathrm d\tau

暂时记成

Φ(t)=Id+∫stA(τ)Φ(τ)dτ\Phi(t)=I_d+\int^t_sA(\tau )\Phi(\tau)\mathrm d\tau

如果继续求导

Φ˙(t)=A(t)Φ(t)\dot \Phi(t)=A(t)\Phi(t)

这个微分方程是我们熟悉的（之前的 XX 取向量，而现在是方阵），有如下方程组

{X˙=A(t)XX(s)=Id\left\{\begin{array}{ll}\dot X=A(t)X\\ X(s)=I_d\end{array}\right.

称为 X˙=f(t,x)\dot X=f(t,x) 的 一阶变分方程
其实 AA 有三个自变量，这里修正一下符号

A(t,s,z):=∂f∂x(t,ϕ(t,s,z))∈C(V)A(t,s,z):=\dfrac{\partial f}{\partial x}(t,\phi(t,s,z))\in C(V)

有方程组 $$\left {\begin {array}{ll}\dot X=A (t,s,z) X:=F (t,X,s,z)\ X (s)=I_d\end {array}\right.$$

# 求解一阶变分方程

{X˙=A(t,ω)XX(s)=Id\left\{\begin{array}{ll}\dot X=A(t,\omega)X\\ X(s)=I_d\end{array}\right.

有局部引理

引理：I⊂RI\subset \mathbb R 是紧集，K⊂RmK\subset \mathbb R^m 是紧集

A∈C(I×K):I×K→Md(R),(t,ω)→A(t,ω)A\in C(I\times K):I\times K\to M_d(\mathbb R),\quad (t,\omega)\to A(t,\omega)

先取定 τ∈I\tau \in I，ω∈K\omega \in K，B∈Md(R)B\in M_d(\mathbb R)，则

{X˙=A(t,ω)XX(τ)=B\left\{\begin{array}{ll}\dot X=A(t,\omega)X\\ X(\tau)=B\end{array}\right.

的解在 II 上有定义且唯一，记为 Φ(t,τ,ω)\Phi(t,\tau,\omega)，则 Φ\Phi 的定义域为 I×I×KI\times I\times K，且 Φ\Phi 在 I×I×KI\times I\times K 上连续。

证明：利用 Picard 迭代

令 S=C(I×I×K;Md(R))S=C(I\times I\times K; M_d(\mathbb R))，定义 Picard 映射 $$P:S\to S,\quad \phi (t,\tau,\omega)\to (P\phi)(t,\tau,\omega):=B+\int ^t_\tau A (u,\omega)\phi (u,\tau,\omega)\mathrm du$$
容易得到，{Pnϕ}\{P^n\phi\} 是 SS 中的 Cauchy 列，且 PP 是最终压缩映射，所以有解 $$\Phi (t,\tau,\omega)=B+\int^t_\tau A (u,\omega)\Phi (u,\tau,\omega)\mathrm du$$

回到原题

回到原来的问题，AA 的定义域并不是紧集这么简单，它原本是 $$A:V\to M_d (\mathbb R),\quad (t,s,z)\to A (t,s,z)$$
其中 V={(t,s,z):(s,z)∈U,t∈I(s,z)}V=\{(t,s,z):(s,z)\in U,t\in I(s,z)\}，所以需要从局部扩充到全局

V(t,ω)⊂Rm+1,∀ω∈RmV_{(t,\omega)}\subset \mathbb R^{m+1},\forall \omega \in \mathbb R^m，定义 VV 的截口 Vω={t∈R:(t,ω)∈V}V_\omega=\{t\in \mathbb R:(t,\omega)\in V\}，设 VωV_\omega 均为开区间，A:V→Md(R),(t,ω)→A(t,ω)A:V\to M_d(\mathrm R), (t,\omega)\to A(t,\omega) 连续。固定 B∈Md(R)B\in M_d(\mathbb R)，∀(τ,ω)∈V\forall (\tau,\omega)\in V，考虑 IVP

{X˙=A(t,ω)XX(τ)=B\left\{\begin{array}{ll}\dot X=A(t,\omega)X\\ X(\tau)=B\end{array}\right.

则该 IVP 的解在 VωV_\omega 上存在且唯一，记为 ϕ(t,τ,ω)\phi(t,\tau,\omega)，定义 W={(t,τ,ω):(τ,ω)∈V,t∈Vω}W=\{(t,\tau,\omega):(\tau,\omega)\in V,t\in V_\omega\}，则 ϕ\phi 在 WW 上连续。

证明：固定 (τ,ω)∈V(\tau,\omega)\in V，可以得到截口 $V_\omega $，任取 τ∈I⊂Vω\tau \in I\subset V_\omega，且 II 是紧集，取 K={ω}K=\{\omega\}，使用局部引理，知道有解 ϕ(t,τ,ω)\phi(t,\tau,\omega) 在 I×I×KI\times I\times K 上连续，进一步，取遍所有 ω\omega，所以说明每个点都有解且唯一。

证明 ϕ\phi 的连续性

# 最终证明

定义 $$V={(t,s,z):(s,z)\in U,t\in I_{(s,z)}}$$

定义 $$A:V\to M_d (\mathbb R),\quad (t,s,z)\to A (t,s,z)=\dfrac {\partial f}{\partial x}(t,\phi (t,s,z))$$
则

{X˙=A(t,s,z)XX(τ)=Id\left\{\begin{array}{ll}\dot X=A(t,s,z) X \\ X(\tau)=I_d \end{array}\right.

解存在唯一，记为 Φ(t,τ,s,z)\Phi(t,\tau,s,z)，它在 WW 上连续，其中 W={(t,τ,s,z):(s,z)∈U,τ,t∈I(s,z)}W=\{(t,\tau,s,z):(s,z)\in U,\tau,t\in I_{(s,z)}\}

所以取 τ=s\tau =s，所以

{X˙=A(t,s,z)XX(s)=Id\left\{\begin{array}{ll}\dot X=A(t,s,z) X \\ X(s)=I_d \end{array}\right.

解存在唯一，记为 D(t,s,z)=Φ(t,s,s,z)D(t,s,z)=\Phi(t,s,s,z)，它在 WW 上连续，其中 W={(t,s,z):(s,z)∈U,t∈I(s,z)}W=\{(t,s,z):(s,z)\in U,t\in I_{(s,z)}\}

所以如果 ∂ϕ∂z\dfrac{\partial \phi}{\partial z} 存在，那只能是 D(t,s,z)D(t,s,z)，接下来证明 DD 确实是。

即说明

ϕ(t,s,z)−ϕ(t,s,z0)=D(t,s,z0)(z−z0)+o(∣z−z0∣)\phi(t,s,z)-\phi(t,s,z_0)=D(t,s,z_0)(z-z_0)+o(|z-z_0|)

我们现有的条件只有两个积分方程，所以

ϕ(t,s,z)−ϕ(t,s,z0)=z−z0+∫stf(τ,ϕ(τ,s,z))−f(τ,ϕ(τ,s,z0))dτ\phi(t,s,z)-\phi(t,s,z_0)=z-z_0+\int ^t_sf(\tau,\phi(\tau,s,z))-f(\tau,\phi(\tau,s,z_0))\mathrm d\tau

和

D(t,s,z)(z−z0)=z−z0+∫st∂f∂x(τ,ϕ(τ,s,z))D(τ,s,z0)(z−z0)dτD(t,s,z)(z-z_0)=z-z_0+\int ^t_s\dfrac{\partial f}{\partial x}(\tau,\phi(\tau,s,z))D(\tau,s,z_0)(z-z_0)\mathrm d\tau

由有限增量定理

f(τ,ϕ(τ,s,z))−f(τ,ϕ(τ,s,z0))=∂f∂x(τ,ϕ(τ,s,z0))(ϕ(τ,s,z)−ϕ(τ,s,z0))+Δ(z−z0)f(\tau,\phi(\tau,s,z))-f(\tau,\phi(\tau,s,z_0))=\dfrac{\partial f}{\partial x}(\tau,\phi(\tau,s,z_0))(\phi(\tau,s,z)-\phi(\tau,s,z_0))+\Delta (z-z_0)

# 初值光滑引理

设 U⊂Rd+1U\subset \mathbb R^{d+1} 为开集，设 f∈C1(U,Rd)f\in C^1(U,\mathbb R^d)，