# 前言

本节统一假设 $U\subset \mathbb R^{d+1}$ 为开集，且 $f\in C(U,\mathbb R^d)$。

记 $\omega=(t_0,x_0)\in U$ 为初值条件，用 $\mathcal I(\omega)$ 表示初值问题

$$\mathcal I(\omega):\quad \dot x=f(t,x);\quad x(t_0)=x_0$$

# 极大解的定义

定义： 称 $(\phi_\omega,I_\omega)$ 是 $\mathcal I(\omega)$ 的一个 极大解 ，如果

1. $I_\omega$ 是一个区间， $\phi_\omega :I_\omega \to \mathbb R^d$ 是 $\mathcal I(\omega)$ 的一个解；
2. 若 $I_\psi$ 是区间，$\psi :I_\psi \to\mathbb R^d$ 是 $\phi_\omega$ 的延拓且是 $\mathcal I(\omega)$ 的解，则 $I_\psi=I_\varphi$.

由 Peano 定理知道，如果区间是闭区间，则可以在端点处延拓，所以

性质：极大解 $(\phi_\omega,I_\omega )$ 的定义区间 $I_\omega$ 必定是开区间。

同样地，有几何直观

定义：设 $(\phi_\omega ,I_\omega)$ 是 $\mathcal I(\omega)$ 的一个极大解，称 $\phi_\omega$ 的图像

$$\Gamma_\omega:=\Gamma_{\phi_\omega}=\{(t,\phi_\omega(t)):t\in I_\omega\}$$

是系统 $\dot x=f(t,x)$ 通过 $\omega$ 的一条 极大积分曲线。称曲线 $\Gamma\subset U$ 是系统 $\dot x=f(t,x)$ 的一条极大积分曲线，如果它是通过某点 $\omega\in U$ 的极大积分曲线。

# 极大解的存在唯一性

# 局部解存在唯一情形

本节假设：$U\subset \mathbb R^{d+1}$ 为开集，$f\in C(U,\mathbb R^d)$。对任何 $\omega \in U$， $\mathcal I(\omega)$ 的解局部存在且唯一。

由 Picard-Lindelöf 定理，只需要 $f\in C(U,\mathbb R^d)$ 且 $f\in\mathrm{Lip}_{x,loc}(U)$，则假设是成立的。

在本节的假设下，证明极大解的存在性和唯一性。

定理：$\forall \omega\in U$， $\mathcal I(\omega)$ 存在唯一的极大解 $(\phi_\omega,I_\omega)$。此时称 $I_\omega$ 是解的 极大定义区间。

证明思路是 取并，即 $\mathcal S:=\{(\phi,I_\phi):\phi:I_\phi\to\mathbb R^d \text{是} \mathcal I(\omega) \text{的一个局部解}\}$，因此

$$I_\omega=\bigcup_{(\phi,I_\phi)\in\mathcal S} I_\phi,\quad \phi_\omega|_{I_\phi}=\phi$$

然后逐条验证极大解即可。在这之前需要证明解之间的相容性。

引理：$\phi:I_\phi\to \mathbb R^d$ 与 $\psi:I_\omega\to \mathbb R^d$ 分别为 $\mathcal I(\omega )$ 在开区间 $I_\phi,I_\psi$ 上的解，则

$$\phi|_{I_\phi\cap I_\psi}=\psi|_{I_\phi\cap I_\psi}$$

# 局部解存在情形

由 Peano 定理知道局部解存在。此时利用 Zorn 引理，仍有存在性的结果，但不一定唯一

定理：$\forall \omega \in U$，$\mathcal I(\omega)$ 存在极大解 $(\omega,I_\omega)。$

# 极大解的几何性质

# 极大积分曲线不交

基于上一节，显然有结果

性质：$\forall \omega\in U$，通过 $\omega$ 的极大积分曲线存在且唯一

进一步

定理：设 $\Gamma$ 和 $\Gamma'$ 是系统 $\dot x=f(t,x)$ 的两条极大积分曲线，则要么 $\Gamma=\Gamma'$，要么 $\Gamma\cap\Gamma'=\emptyset$.

# 极大积分曲线趋于边界

# 自治系统情形应用

设 $V\subset \mathbb R^n$ 为开集，设 $g:V\to\mathbb R^d$ 连续。考虑自治系统 $$\dot x=g (x)$$

# 极大相曲线

对于自治系统，显见时间之于初值有如下关系

引理：设 $t_0,\tau_0\in\mathbb R,x_0\in V$，则 $(\phi,I_\phi)$ 是 $\mathcal I(t_0,x_0)$ 的一个极大解当且仅当 $(\psi,I_\psi)$ 是 $\mathcal I(\tau_0,x_0)$ 的一个极大解，其中

$$I_\psi:=I_\phi-(t_0-\tau_0);\quad \psi(t)=\phi(t+t_0-\tau_0)$$

所以统一起见，认为初值时间是 $t_0=0$。

定义：设 $x_0\in V$，记 $\omega=(0,x_0)$。设 $(\phi_\omega,I_\omega)$ 是 $\mathcal I(\omega)$ 的一个极大解。称 $\phi_\omega$ 的像 $\phi_\omega(I_\omega)$ 是系统 $\dot x=g(x)$ 通过 $x_0$ 的一条 极大相曲线。称光滑曲线 $\Gamma\subset V$ 是一条极大相曲线，如果它是通过 $V$ 中某点的极大相曲线。

几何上看，一条极大相曲线就是一条极大积分曲线朝 $x$ 方向的投影，它和 $t$ 无关。

# 局部解存在唯一情形

本节假设：$U\subset \mathbb R^{d+1}$ 为开集，$f\in C(U,\mathbb R^d)$。对任何 $\omega \in U$， $\mathcal I(\omega)$ 的解局部存在且唯一。其中

$$f:\mathbb R\times V\to \mathbb R^d,\quad f(t,x):=g(x)$$