# 常系数线性方程的解

定理 4.2.1 设 $A\in M_d(\mathbb R)$，则初值问题

$$\mathcal I(0,z):\left\{\begin{array}{ll} \dot x=Ax\\ x(0)=z\end{array}\right.$$

的解在 $\mathbb R$ 上存在且唯一，由下式给出

$$\phi(t,z):=e^{tA}z$$

进一步，系统 $\dot x=Ax$ 的相流存在且光滑。