# 相流

性质 4.3.1.1 设 $A\in M_d(\mathbb R)$，定义

$$\phi:\mathbb R\to \mathbb R^d\to \mathbb R^d,\quad \phi(t,z):=e^{tA}z$$

则 $\phi$ 是 $\mathbb R^d$ 上的光滑流。

相流函数可以看作是追踪流体中每一点的运动。给定一系列的点集，随着时间的变化，点集在流动，所占的 体积 也不同。具体的内容参见 5 章的 Liouville 定理。

性质 4.3.1.2 给定系统 $\dot x=Ax$，其相流为

$$\phi(t,z)=e^{tA}z$$

有以下规律

1. $e^{tA}$ 保体积当且仅当 $\mathrm{tr}A=0$ 或者 $t=0$；
2. 当 $\mathrm{tr}A>0$ 时，随着 $t$ 增加，映射 $e^{tA}$ 会以指数的速度扩张体积；反之。
3. 当 $\mathrm{tr}A>=$ 时，流在任何时候都不改变体积。

# 线性系统的共轭

定义 4.3.2.1 给定 $A,B\in M_d(\mathbb R)$，称以下系统 拓扑共轭

$$\dot x=Ax,\ \dot y=By$$

如果存在同胚 $F:\mathbb R^d\to \mathbb R^d$，使得 $\forall t\in\mathbb R,\ z\in\mathbb R^d$ 均有

$$F(e^{tA}z)=e^{tB}F(z)$$

此时我们也称 $F$ 是二系统间的一个 拓扑共轭映射。

定义 4.3.2.2 给定 $A,B\in M_d(\mathbb R)$，称以下系统 光滑共轭

$$\dot x=Ax,\ \dot y=By$$

如果二系统拓扑共轭，且存在拓扑共轭映射 $F$，使得 $F,F^{-1}\in C^1(\mathbb R^d,\mathbb R^d)$。称 线性共轭，如果二系统拓扑共轭，且存在拓扑共轭映射 $F$，使得 $F$ 是 $\mathbb R^d$ 上的线性变换。

性质 4.3.2.3 给定 $A,B\in M_d(\mathbb R)$，对于线性系统 $\dot x=Ax,\ \dot y=By$，以下叙述等价

1. 二系统光滑共轭
2. 二系统线性共轭
3. $A\sim B$

进一步讨论线性系统的拓扑共轭类。

定理 4.3.2.4 设 $A,B\in M_d(\mathbb R)$ 均为双曲矩阵，则

$$\dot x=Ax,\ \dot y=By$$

拓扑共轭当且仅当

$$\mathrm{sgn}(A)=\mathrm{sgn}(B)$$