# 边值问题

# Dirichlet 边界条件

定义： 称以下边界条件为 Dirichlet 边界条件，称相应的边值问题为 Dirichlet 边值问题

$$\left\{\begin{array}{ll}\phi''(x)=-\lambda\phi(x)\\ \\ \phi(0)=\phi(\pi)=0\end{array}\right.$$

其中 $\lambda\in\mathbb R$

物理意义上，考虑固定在 $[0,\pi]$ 两端的弹性弦振动，运动规律满足波方程

$$u_{tt}(t,x)=u_{xx}(t,x)$$

附加上边值条件

$$u(t,0)=u(t,\pi)=0$$

和初值条件

$$u(0,x)=f(x);\quad u_t(0,x)=g(x)$$

就得到了一个 波方程的初边值问题 (1)。

性质： 对于 Dirichlet 边值问题，考虑 $\phi\in C^2$，记 $\lambda=k^2$

1. $k=0$ 或者 $k\notin \mathbb Z$ 时，边值问题只有平凡解 $\phi\equiv 0$
2. $k\in \mathbb Z_+$ 时，边值问题有非平凡解。所有的解构成一维线性空间，其基底可以选 $\sin kx$

性质： 波方程边初值问题 (1) 具有一族解

$$u_k(t,x)=\psi(t)\phi(x)=(c\sin kt+d\cos kt)\sin kx,\quad k\in \mathbb N$$

性质： 设 $f,g$ 满足如下的条件：

$$\left\{\begin{array}{ll}f\in C^3([0,\pi]),\ f(0)=f(\pi)=f''(0)=f''(\pi)=0\\ \\g\in C^2([0,\pi]),\ g(0)=g(\pi)=0\end{array}\right.$$

定义

$$kc_k=\dfrac2\pi\int^\pi_0g(x)\sin kx\mathrm dx$$

$$d_k=\dfrac2\pi\int^\pi_0f(x)\sin kx\mathrm dx$$

则函数项级数一致收敛且 $C^2$ 光滑，满足波方程边初值问题 (1) 的解

$$u(t,x)=\sum^\infty_{k=1}(c_k\sin kt+d_k\cos kt)\sin kx$$

# Neumann 边界条件

定义： 称以下边界条件为 Neumann 边界条件，称相应的边值问题为 Neumann 边值问题

$$\left\{\begin{array}{ll}\phi''(x)=-\lambda\phi(x)\\ \\ \phi'(0)=\phi'(\pi)=0\end{array}\right.$$

其中 $\lambda\in\mathbb R$

物理意义上，考虑在 $[0,\pi]$ 的弹性弦振动，运动规律满足波方程

$$u_{tt}(t,x)=u_{xx}(t,x)$$

附加上边值条件（任何时刻 $t$，弦在两个端点附近为水平）

$$u_x(t,0)=u_x(t,\pi)=0$$

就得到了一个 波方程的初边值问题 (2)。

性质： 对于 Neumann 边值问题，考虑 $\phi\in C^2$，记 $\lambda=k^2$

1. $k\notin \mathbb Z$ 时，边值问题只有平凡解 $\phi\equiv 0$
2. $k=0$ 时，边值问题有非平凡解 $\phi\equiv c$
3. $k\in \mathbb Z_+$ 时，边值问题有非平凡解。所有的解构成一维线性空间，其基底可以选 $\cos kx$

# Robin 边界条件

定义： 称以下边界条件为 $(\alpha,\beta)$-Robin 边界条件，称相应的边值问题为 $(\alpha,\beta)$-Robin 边值问题

$$\left\{\begin{array}{ll}\phi''(x)=-\lambda\phi(x)\\ \\ \phi(0)\sin\alpha-\phi'(0)\cos \alpha=0\\ \\ \phi(\pi)\sin\beta-\phi'(\pi)\cos\beta=0\end{array}\right.$$

其中 $\lambda\in\mathbb R$

性质： 对于 $(\alpha,\beta)$-Robin 边值问题，考虑 $\phi\in C^2$

1. $\lambda\neq (k+1/2)^2,\ k\in\mathbb Z$ 时，边值问题只有平凡解 $\phi\equiv 0$
2. $\lambda= (k+1/2)^2,\ k\in\mathbb Z$ 时，边值问题有非平凡解

# Sturm-Liouville 边值问题

# Sturm-Liouville 边值问题

性质： 考虑 Robin 边界条件，设 $\phi\in C^1([a,b])$，设 $\alpha\in [0,\pi]$。任取 $t\in [a,b]$ 定义

$$R_{\phi, \alpha}(t):=\phi(t)\sin \alpha-\phi'(t)\cos \alpha=\begin{bmatrix}\phi(t)\\ \phi'(t)\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}\sin\alpha \\-\cos\alpha\end{bmatrix}$$

从而 $R_{\phi,\alpha}=0$ 的几何意义为 $\phi^{\langle 2\rangle}(t)\parallel \nu_\alpha$，其中

$$\nu_\alpha=\begin{bmatrix}\cos \alpha \\\sin \alpha\end{bmatrix}$$

换言之，若 $R_{\phi,\alpha}(a)=0$，则称 $\phi$ 在端点 $a$ 满足 $\alpha$ - 边界条件。自然可以定义 $(\alpha,\beta)$- 边界条件

$$R_{\phi,\alpha}(a)=R_{\phi,\beta}(b)=0$$

定义： 设 $l>0$，设 $q(t)\in C([0,l];\mathbb R)$，设 $\alpha,\beta\in [0,\pi]$。记如下的边值问题

$$\left\{\begin{array}{ll}-\ddot x+q(t)x=0;\\ \\ R_{x,\alpha}(0)=R_{x,\beta}(l)=0\end{array}\right.$$

为 $\mathcal B(\alpha,\beta;q)$，并称其是一个 带 $(\alpha,\beta)$-Robin 边界条件的 Sturm-Liouville 边值问题。

性质： 取定 $z\in \mathbb C$，$\mathcal B(\alpha,\beta;q-z)$ 等价于研究一阶系统

$$\dot X=Q(t,z)X;\quad X(s)=I_2$$

这里

$$Q(t,z):=\begin{bmatrix}0&1\\q(t)-z&0\end{bmatrix}$$

记其解为 $\Pi(t,s;z)$，这里将 $z$ 视为参数。

$$\Pi(t;z):=\Pi(t,0;z)$$

有以下性质

1. $\Pi\in C^1([0,l]\times \mathbb C;M_2(\mathbb C))$
2. $\det \Pi(t;z)=1$

定义： 定义两个函数空间

$$V:=\{\phi\in C^2([0,l]):R_{\phi,\alpha}(0)=R_{\phi,\beta}(l)=0\}$$

$$W:=C([0,l])$$

则 $V$ 是 $W$ 的线性子空间。定义线性算子 $L:V\to W$ 为

$$(L\phi)(t):=-\ddot \phi(t)+q(t)\phi(t)$$

称 $L$ 是一个 Sturm-Liouville 算子。

称 $z\in \mathbb C$ 是算子 $L$ 的一个 Sturm-Liouville 特征值，如果存在非零 $\phi\in V$ 使得

$$L\phi=z\phi$$

定义算子 $L$ 的 谱 为其所有 S-L 特征值的集合，记为 $\sigma(L)$。

性质： $z\in \sigma(L)$ 当且仅当 $\mathcal B(\alpha,\beta ;q-z)$ 有一个非零解。

# S-L 边值问题的谱

# 离散性

定义： 设 $U\subset\mathbb C$ 是一个开集，设 $f:U\to \mathbb C$ 是一个函数，设 $z_0\in U$。称 $f$ 在 $z_0$ 可导，如果存在 $a\in \mathbb C$ 使得

$$f(z)=f(z_0)+a(z-z_0)+o(|z-z_0|)$$

此时称 $a$ 是 $f$ 在 $z_0$ 上的 导数 ，并记为 $f'(z_0)$。称 $f$ 在 $U$ 上 解析 或者 全纯，如果 $f$ 在 $U$ 中的每点处均可导。若 $f:\mathbb C\to\mathbb C$ 解析，则称 $f$ 是一个 整函数。

例子： 整函数与非整函数的例子

1. 整函数：e^z;\quad \sin z:=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i};\quad \cos z:=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}
2. 非整函数：$\dfrac {1}{1+z^2}$，因为在 $z=\pm i$ 无定义

性质： 设 $f\in C\to C$ 是一个整函数，且 $f\not \equiv 0$。则

1. $f$ 的零点集在 $\mathbb C$ 中没有聚点
2. 等价地，对每个 $n\in \mathbb N$，$B(0,n)$ 内仅有有限个 $f$ 的零点
3. 特别地，$f$ 的零点集是一个可数离散集

性质： $\Pi$ 是整函数，定义

$$W_{\alpha,\beta}(z):=\begin{bmatrix}\sin \beta&-\cos\beta \end{bmatrix}\Pi(l;z)\begin{bmatrix}\cos \alpha\\ \sin \alpha\end{bmatrix}$$

那么 $W_{\alpha,\beta}$ 为整函数，所以

1. $\sigma(L)$ 是整函数 $W_{\alpha,\beta}$ 的零点集，从而是 $\mathbb C$ 的离散子集

定义 $z$ 的 几何重数

$$\mathrm{GM}(z):=\dim\{\phi\in V:L\phi=z\phi\}$$

2. $L$ 的每个特征值 $z$ 的几何重数均为 $1$

# 实值性

定义： 在 $W=C([0,l])$ 上定义 内积 ，对任意的 $\phi,\psi\in W$

$$\langle \phi,\psi\rangle :=\int^l_0\bar \phi(t)\psi (t)\mathrm dt$$

这自然诱导出 范数

$$||\phi||:\sqrt{\langle \phi,\phi\rangle}=\left(\int^l_0|\phi(t)|^2\mathrm dt\right)^{1/2}$$

当然可以将内积和范数限制在 $V$ 上。

定义： $T:V\to W$ 是一个线性算子。若存在 $\lambda\in \mathbb C$ 以及 $0\neq \phi\in V$ 使得 $T\phi=\lambda\phi$ ，则称 $\lambda$ 是 $T$ 的 特征值，而称 $\phi$ 是 $\lambda$ 对应的 特征向量。称 $T$ 是一个 对称算子，如果对任意的 $\phi,\psi\in V$，有

$$\langle T\phi,\psi\rangle=\langle \phi,T\psi\rangle$$

性质： 如果 $T$ 对称，那么对任意的 $\phi\in V$

$$\langle T\phi,\phi\rangle \in\mathbb R$$

进而可以定义 $T$ 下有界，如果存在 $C\in\mathbb R$，使得

$$\langle T\phi,\phi\rangle \geq C||\phi||^2,\quad \forall \phi\in V$$

性质： $T:V\to W$ 是一个对称算子，则

1. $T$ 的特征值必为实数
2. $T$ 的不同特征值对应的特征向量互相正交
3. 假设 $T$ 下有界 $C$，则 $T$ 的任何特征值均大于等于 $C$

性质： 关于带 $(\alpha,\beta)$-Robin 边界条件的 S-L 问题，其算子 $L$ 有以下性质

1. $L$ 是对称算子，所以 $\sigma(L)\subset\mathbb R$

$$\langle L\phi,\psi \rangle =\langle \phi,L\psi\rangle$$

2. 当 $\alpha,\beta \in \{0,\pi/2\}$，对应的算子 $L$ 有下界 $-||q||_\infty$，所以 $\min \sigma(L)\geq -||q||_\infty$

# 非齐次边值问题

# 振荡理论与谱

定义： 给出 Prufer 坐标变换，记 $\rho(t)$ 为 $\varphi(t)$ 的长度，记 $\theta(t)$ 为 $\varphi(t)$ 的角度