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本文为 2024 年大学物理课程笔记。

# 光学基本概念

# 光源

光源的最基本单元是分子、原子。光源分为普通光源和激光光源。

# 普通光源

普通光源是自发辐射，是原子电子跃迁释放能量发光，其中光的频率为 ν=ΔEh\nu=\dfrac{\Delta E}{h}，不同能级跃迁的光也不同。

跃迁发光不是连续的，平均一次发光时间为 τ=10−8s\tau =10^{-8}\mathrm s；平均一次发出的光波长度为 L=τcL=\tau c，称为 波列长，它是一段一段的。

跃迁发光是独立的，表现在不同原子发光是独立的，不相干的；相同原子在不同时间发光是独立的，不相干的。即发光时间、发光持续时间、光波振动方向、光波初位相等都不一样。

所以普通光源不能直接形成干涉现象。普通光源获得相干光的途径有 分波面法、分振幅法，这可以使光在某些点上相干叠加。

# 激光光源

激光光源是受激辐射，可以实现光放大，因为它激发出来的光子是完全相同的：传播方向、频率、相位、振动方向。

激光光源的单色性好、相干性好。

# 干涉现象

我们说 光的干涉现象，就是指满足一定条件的两束光叠加时，在叠加区域光的强度或明暗有一稳定分布的现象。事实上，对于一般的波也有干涉现象。

出现干涉现象，需要波满足一定的要求，即 相干条件：两列波必须 振动方向相同，频率相同，相位差稳定。满足相干条件的波叫做 相干波。

# 光强公式

考虑两束相干波在公共点 PP 处的振动

y1=A1cos⁡(ωt+φ1)y_1=A_1\cos(\omega t+\varphi _1)

y2=A2cos⁡(ωt+φ2)y_2= A_2\cos(\omega t+\varphi _2)

y1+y2=Acos⁡(ωt+φ)y_1+y_2=A\cos(\omega t+\varphi)

根据 eix=cos⁡x+isin⁡xe^{ix}=\cos x+i\sin x，可以算出

A2=A12+A22+2A1A2cos⁡ΔφA^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos \Delta \varphi

需要补充的是，振幅在光传播过程中可能有损耗，所以即使是同一束光，经过不同路程后的振幅也不一样。此外，光的强度正比于振幅的平方。所以 PP 点光强为

I=I1+I2+2I1I2⋅cos⁡Δφ‾I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cdot\overline{\cos \Delta \varphi}

特别地，当 I1=I2=I0I_1=I_2=I_0 时

I=4I0cos⁡2Δφ2=4I0cos⁡22πdsin⁡θλI=4I_0\cos^2\dfrac{\Delta \varphi}2=4I_0\cos^2\dfrac{2\pi d\sin \theta}{\lambda }

# 干涉项

光强公式中 cos⁡Δφ‾\overline{\cos \Delta \varphi} 是 干涉项，取对时间的平均值，因为观测到的是稳定的状态。

对于 非相干光源 ，认为在每个时间下 cos⁡Δφ\cos\Delta \varphi 的取值是随机的，所以：cos⁡Δφ‾=0\overline{\cos\Delta\varphi}=0；

对于 完全相干光源 ，这是稳定的，所以：cos⁡Δφ‾=cos⁡Δφ\overline{\cos \Delta \varphi}=\cos\Delta\varphi.

当 相长干涉 时，该处光强最大，是明纹：Δφ=2kπ,k∈Z\Delta \varphi=2k\pi,\quad k\in\mathbb Z；

当 相消干涉 时，该处光强最小，是暗纹：Δφ=(2k+1)π,k∈Z\Delta \varphi=(2k+1)\pi,\quad k\in\mathbb Z

# 衬比度

在观测中，引入 衬比度 说明明暗对比程度

V=Imax−IminImax+IminV=\dfrac{I_{\mathrm {max}}-I_{\mathrm {min}}}{I_{\mathrm {max}}+I_{\mathrm {min}}}

显然，V≤1V\leq 1。决定衬比度的因素：振幅比、光的单色性、光源宽度。下面就这三个因素进行讨论。

# 单色光双缝干涉

Young 在双缝干涉实验中通过用同一光源 S 的发出的光的同一波阵面的两部分发生衍射现象而叠加在一起而产生光的干涉，这种方法称为 分波面法。

实验中 λ<<d<<D\lambda<<d<<D ，所以角度 θ\theta 非常小，可以有估计 θ∼sin⁡θ∼tan⁡θ\theta\sim \sin\theta\sim \tan \theta ，且这个时候认为 $r_1,r_2 $ 和连心线在靠近 dd 处是平行的。

给出单色光双缝干涉的示意图：

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波程差：δ=r2−r1=d⋅xD\delta=r_2-r_1=d\cdot \dfrac xD

相位差：Δφ=δλ⋅2π\Delta\varphi=\dfrac\delta\lambda\cdot 2\pi

明纹：δ=±kλ,x±k=±kDd⋅λ\delta=\pm k\lambda ,\quad x_{\pm k}=\pm k\dfrac Dd\cdot\lambda

暗纹：δ=±(2k+1)λ2,x±(2k+1)=±(2k+1)Dd⋅λ2\delta=\pm (2k+1)\dfrac\lambda 2,\quad x_{\pm (2k+1)}=\pm(2k+1)\dfrac D{d}\cdot \dfrac\lambda 2

条纹间距：Δx=Ddλ,Δx∝λ\Delta x=\dfrac Dd\lambda,\quad \Delta x\propto \lambda

条纹特点：中间级次低，对应波程差小，两边级次高，对应波程差大；$\theta $ 不太大时，条纹等间距。

找准两个相似三角形就好。干涉条纹可以反映光的强度、相位。

# 干涉性质

# 时间相干性

时间相干性 是指每个原子不同时间发出的光波之间的相干性.

# 非单色性

不一定只包含单一频率，而是由一定的频率范围的光，称为 准单色光，绘制成 I−λI-\lambda 谱线。定义这束光强度等于最大强度的一半的波长范围 Δλ\Delta \lambda 为 谱线宽度。显然，Δλλ\dfrac{\Delta \lambda}{\lambda} 越小，光的单色性越好。

造成谱线宽度的原因之一，是电子跃迁的能级也具有宽度，因此放出的光的频率是在一个范围内的。即 Δν=(ΔEi+ΔEj)/h\Delta \nu=(\Delta E_i+\Delta E_j)/h

在要求不高的实验中，光的谱线宽度是不可避免的。不同波长的光产生的干涉条纹因波长而异，从零级明纹开始不同波长的干涉条纹明暗纹开始错位。衬比度不断降低，直到无法观测到干涉条纹。

因此有 最大相干级次 的概念：能产生干涉的最大级次 kMk_M

kM=λΔλ,λ>>Δλk_M=\dfrac\lambda{\Delta \lambda},\quad \lambda>>\Delta \lambda

白光是混合光，不同色光从零级明纹开始分离，因此可以用白光确定零级明纹。

# 相干长度

因此，在光屏上可以观测到的干涉长度称为 相干长度：两列波能发生干涉的最大波程差 δM\delta_M

δM=kMλ=λ2Δλ\delta_M=k_M\lambda =\dfrac{\lambda ^2}{\Delta \lambda}

显然，在双缝干涉实验中，相干长度等于波列长度。

# 相干时间

相干时间：光通过相干长度所需的时间 τ\tau。

τ=δMc\tau =\dfrac{\delta_M}c

这就是波列长。光的单色性好，相干长度（波列长度）和相干时间（波列延续时间）就长，时间相干性就好。

# 空间相干性

空间相干性 讨论光源宽度对条纹衬比度的影响。

# 总结

分析干涉问题四步走：

  1. 明确发生干涉的光束。

  2. 计算波程差（光程差）。

  3. 明确条纹特点：形状、位置、级次分布、条纹移动。

  4. 用光强公式计算，画出光强曲线。

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