# 波粒二象性

# 黑体辐射

热辐射： 能量按频率的分布随温度而不同的电磁辐射叫做热辐射。

平衡热辐射： 如果在同一时间内从物体表面辐射的电磁波能量和它吸收的电磁波能量相等，物体和辐射就处于温度一定的热平衡状态，此时的热辐射称为平衡热辐射。

以下的讨论都是基于平衡热辐射。

光谱辐射出射度： 频率 $\nu$ 的光谱辐射出射度是指单位时间内从物体单位表面积发出的频率在 $\nu$ 附近单位频率区间的电磁波的能量。光谱辐射出射度（按频率分布）用 $M_\nu$ 表示。设单位时间从单位表面（温度 $T$ ）发出的频率在 $\nu$ 附近的电磁波能量为 $\mathrm dE_\nu(T)$，则

$$M_{\nu}=\dfrac{\mathrm dE_{\nu}(T)}{\mathrm d\nu}$$

光谱辐出度取决于 $T,\nu$ 和物体种类、表面情况。

总辐出度： 在温度为 $T$ 时，单位时间内物体单位表面积辐射的全频段电磁波能量，记为 $M(T)$

$$M(T)=\int^\infty_0M_{\nu}(T)\mathrm d\nu$$

光谱吸收比（单色吸收比）： 在温度为 $T$ 时，物体表面吸收的频率在 $\nu$ 到 $\nu+\mathrm d\nu$ 区间的辐射能量占全部入射的该区间的辐射能量的份额，称作物体的光谱吸收比，记为 $\alpha_\nu(T)$

$$\alpha_\nu(T)=\dfrac{\mathrm dE_{\nu,\text{吸收}}(T)}{\mathrm dE_{\nu,\text{入射}}(T)}$$

黑体： 能完全吸收各种波长的电磁波而无反射的物体，即 $\alpha_\nu=1$ 的物体。维恩设计的黑体：小孔空腔。

基尔霍夫辐射定律： 对平衡热辐射和任何材料，以下是一个常量

$$\dfrac{M_{\nu}}{\alpha_\nu}=\dfrac {M_{\nu,\text{黑体}}}{\alpha_{\nu,\text{黑体}}}$$

这表明

1. 黑体光谱辐出度最大
2. 好的辐射体也是好的吸收体
3. 如果 $M_{\nu,\text{黑体}}$ 已知，那么 $M_{\nu},\alpha_\nu$ 可以互推
4. 利用黑体可以撇开材料的性质，普遍地研究热辐射规律

黑体辐射谱： 相关图像和测量装置略。

普朗克公式： 黑体辐射公式，其中 $h$ 是普朗克常量

$$M_\nu=\dfrac{2\pi h}{c^2}\dfrac{\nu^3}{e^{h\nu/kT}-1}$$

它可以导出

1. 维恩公式： $M_v=\alpha \nu^3e^{-\beta\nu/T}$，在高频段符合
2. 瑞利 - 金斯公式： $M_\nu=\dfrac{2\pi \nu^2}{c^2}kT$，在低频段符合
3. 维恩位移定律： $\nu_m=C_\nu T$
4. 斯特藩 - 玻尔兹曼定律： $M(T)=\sigma T^4$

普朗克能量子假设： 频率为 $\nu$ 的简谐振子的能量值，只能取 $\epsilon=h\nu$ 的整数倍

$$E=nh\nu,\quad n=0,1,2,...$$

# 光电效应

光电效应： 光照射某些金属时，能从表面释放出电子的效应。光电效应中产生的电子称为光电子，在电场加速下形成光电流。记光强 $I$。有以下实验规律

1. 存在饱和光电流 $i_m$：在 $I$ 一定时，增大加速电压，光电流能达到最大值 $i_m$
2. 在 $\nu$ 一定时，$i_m\propto I$，这也说明单位时间逸出的光电子数与光强成正比
3. 存在截止电压 $U_c=K\nu-U_0$，与 $I$ 无关
4. 存在红限波长与红限频率 $\nu_0=\dfrac{U_0}K$
5. 最大初动能 $E_{k,\mathrm{max}}=\dfrac 12mv_m^2=U_c$
6. 光电子的逸出几乎是在光照到金属表面上的同时发生的，延迟时间在 $10^{-9}s$ 以下

补充，考虑到原子质量较大，光电效应中电子 - 光子系统动量也近似于守恒。

# 光的二象性 光子

爱因斯坦光量子假设： 电磁辐射由以光速 $c$ 运动的局限于空间某一小范围的光的能量子单元 —— 光子组成。频率 $\nu$ 的光的一个光子的能量

$$\epsilon =h\nu$$

光的发射、传播、吸收都是量子化的，一束光就是以速率 $c$ 运动的一束光子流，光强 $I=N\cdot h\nu$

光电效应方程： $1$ 个电子吸收 $1$ 个光子的能量，克服金属的束缚而逸出

$$\dfrac12mv^2_m=h\nu-A$$

$$eU_c=eK\nu-eU_0$$

其中 $A$ 是逸出功。补充几点

1. 光子打出光电子是瞬时发生的
2. 增大光强，单位时间打出的光电子就多，从而 $i_m$ 增大
3. 光子能量需要 $h\nu>A$ 时才能产生光电效应
4. 红限频率： $\nu_0=\dfrac Ah$

光的二象性： 光既具有波动性，又具有粒子性，称为波粒二象性。具体给出光的两类特征

1. 波动性特征：$\nu,\lambda$
2. 粒子性特征：$m,p,E$，光子是静质量为 $0$ 的粒子
3. 联系：E=h\nu, p=\dfrac h\lambda, m=\dfrac{h\nu}
4. 光子在某处出现的概率与该处的光强成正比

相对论关系：

$$E^2=p^2c^2+m_0^2c^4;\quad E=E_0+E_k$$

相对论质量：

$$m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-\left(\dfrac vc\right)^2}}$$

# 康普顿散射

康普顿散射： X 射线通过物质时向各方向散射，其中有波长改变的散射称为康普顿散射。散射曲线有以下特点

1. 除了原波长 $\lambda_0$ 外，出现了新的散射波长 $\lambda$
2. 新波长 $\lambda$ 随散射角 $\varphi$ 的增大而增大
3. 当 $\varphi$ 增大时，原波长的谱线强度降低，而新波长的谱线强度升高

康普顿散射公式： X 射线的散射是单个光子和单个电子发生弹性碰撞的结果，其中电子在碰撞前视作静止的。利用能量守恒和动量守恒

$$\Delta\lambda=\lambda-\lambda_0=\dfrac h{m_0c}(1-\cos \varphi)=\lambda_C (1-\cos \varphi)$$

其中 $\lambda_C$ 称为康普顿波长。散射波长与散射物质无关。

此外还有一些补充：

1. 瑞利散射：波长不变的散射。因为光子还可以与原子核中束缚得很紧的内层电子发生弹性碰撞
2. 只有当入射波波长与电子的康普顿波长相当时，才能显著观测到
3. 自由电子不能吸收光子，只能散射光子

# 粒子的波动性

德布罗意假设： 实物粒子也具有波动性。

德布罗意公式： 一个粒子的能量、动量和它相联系的波的频率、波长有如下定量关系

$$\nu=\dfrac Eh=\dfrac {mc^2}h$$

$$\lambda=\dfrac hp=\dfrac h{mv}=\dfrac {hc}{\sqrt{E^2_k+2E_kE_0}}$$

和粒子相联系的波称为德布罗意波。物质波的波速

$$u=\lambda\nu=\dfrac{c^2}v$$

德布罗意波的证实和解释：

1. 用电子在晶体上的衍射实验（戴维孙 - 革末电子衍射实验）可以证实德布罗意波，这是因为电子经 $100V$ 电压加速后，其物质波长与 X 射线波长是一个数量级的，所以现象和 X 射线衍射一样
2. 汤姆孙实验：电子通过金的多晶薄膜的衍射实验；约恩孙实验：大量电子的单、双、三、四缝衍射实验
3. 氢原子中轨道角动量量子化条件：德布罗意波在一些稳定的 “轨道” 上运动，德布罗意波必须是一些驻波

$$2\pi r=n\lambda$$

# 概率波与概率幅

量子力学假设： 微观粒子状态用波函数 $\Psi(x,t)$ （一维）、$\Psi(r,t)$ （三维）描述。

波恩描述： 德布罗意波是概率波，是描述粒子在空间概率分布的概率波。波恩对波函数的统计诠释

1. 波函数 $\Psi$ 是描述粒子在空间概率分布的 “概率振幅”
2. 模方 $|\Psi(r,t)|^2=\Psi(r,t)^*\Psi(r,t)$ 称为 “概率密度”，它代表 $t$ 时刻，在 $r$ 端点处单位体积中一个粒子出现的概率
3. 对单个粒子 $|\Psi|^2$ 给出概率密度分布；对大量粒子，$N|\Psi|^2$ 给出粒子数的分布。

统计解释对波函数提出的要求

1. 有限性：在空间任何有限体积元 $\Delta V$ 中，粒子出现的概率必须为有限值

$$\iiint_{\Delta V}|\Psi|^2\mathrm dV<\infty$$

2. 归一性：在空间各点的概率总和必须为 $1$，可以适度加上归一化因子

$$\int_\Omega|\Psi|^2\mathrm dV=1$$

3. 单值性：波函数应单值，保证概率密度在任意时刻、任意位置都是确定的
4. 连续性：势场性质和边界条件要求波函数及其一阶导数（反映概率流）是连续的

# 薛定谔方程

# 薛定谔方程

薛定谔方程： 给出含时薛定谔方程，$m$ 是粒子的质量，$U$ 是粒子在外力场中的势能函数

$$i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H} \Psi(\mathbf{r}, t)$$

其中 $\hat H$ 是哈密顿算符，显式为

$$\hat H=-\dfrac {\hbar ^2}{2m}\nabla^2+U(\mathbf r,t)$$

1. 作为线性偏微分方程，其解满足态叠加原理
2. 薛定谔方程关于时间是一阶的，不同于经典波动方程

定态薛定谔方程： 考虑势函数与时间无关，薛定谔方程有一个时间、位矢分离变量解

$$T(t)=Ce^{-iEt/\hbar}:\quad i\hbar \dfrac{\mathrm dT(t)}{\mathrm dt}=ET(t)$$

$$\left[-\dfrac{\hbar ^2}{2m}\nabla^2+U(\mathbf r)\right]\Phi(\mathbf r)=E\Phi(\mathbf r)$$

第二个方程称为定态薛定谔方程或能量本征方程，其中 $E$ 是一个参数，有能量的量纲，满足方程的特定的 $E$ 值称为能量本征值。$\Phi_E$ 称为与 $E$ 对应的本征波函数。

对分立能量谱，薛定谔方程的一系列定态解为

$$\Psi(\mathbf r,t)=\Phi_n(\mathbf r)e^{-iE_nt/\hbar}$$

通解是定态解的叠加

$$\Psi(\mathbf r,t)=\sum_nC_n\Psi_n(\mathbf r,t)$$

补充：能量本征方程的三维球坐标形式，$r$ 是径矢，$\theta$ 是极角（从 $z$ 轴往下打开），$\theta$ 是方位角（从 $x$ 轴往 $y$ 打开）

$$-\dfrac{\hbar ^2}{2m}\left[\dfrac{\mathrm \partial ^2\Phi}{\partial r^2}+\dfrac2r\dfrac{\partial \Phi}{\partial r}+\dfrac1{r^2\sin\theta}\dfrac{\partial }{\partial \theta}\left(\sin \theta\dfrac{\partial\Phi}{\partial \theta}\right)+\dfrac1{r^2\sin^2\theta}\dfrac{\partial \Phi^2 }{\partial^2 \varphi}\right]+U\Phi=E\Phi$$

# 无限深方势阱中的粒子

无限深方势阱： 取势能函数

$$U=\left\{\begin{array}{ll}0,&|x|\leq a/2\\ \\ \infty,&|x|>a/2\end{array}\right.$$

称这种势能分布为势阱，粒子在势阱中为束缚态。束缚在势阱中的粒子的能量只能取分立值 $E_n$，这是能量量子化，每个能量值对应一个能级，$E_n$ 称为能量本征值，$n$ 称为量子数

$$E_n=\dfrac{\pi^2\hbar ^2}{2ma^2}n^2,\quad n=1,2,3,...$$

最低能量称为零点能

$$E_1=\dfrac{\pi^2\hbar ^2}{2ma^2}>0$$

1. 零点能是量子力学特有结果，根源是波粒二象性、不确定关系
2. 宏观或大量子数的情形，可认为能量连续（相对能量间隔很小）
3. 对每个能级，粒子的德布罗意波长为 $\lambda=\dfrac{2a}n$，势阱中的能量量子化是德布罗意波形成驻波的必然结果
4. 波尔对应原理：大量子数极限下，量子体系行为趋于与经典一致

能量本征函数（在 $|x|\leq \dfrac a2$ 上，其他地方是 $0$ ）

$$\Phi_{\mathrm on}=\sqrt{\dfrac 2a}\sin \dfrac{n\pi}ax,\quad n=2,4,...$$

$$\Phi_{\mathrm en}=\sqrt{\dfrac 2a}\cos \dfrac{n\pi}ax,\quad n=1,3,...$$

薛定谔方程的解

$$\Psi(x,t)=\sqrt{\dfrac 2a}\sin\left(\dfrac {n\pi}ax+\dfrac \pi2\bar n\right)e^{-iE_nt/\hbar }$$

# 势垒穿透

半无限深方势阱： 取势能函数

$$U=\left\{\begin{array}{ll}0,& x\leq 0\\ \\ U_0,&x>0\end{array}\right.$$

在势垒区粒子出现概率 $\neq 0$，但随着势垒增高或透入深度增加，透入概率下降。这是与经典不同的

有限宽势垒和隧道效应： 波可以穿过有限宽势垒，以平面波形式继续前进，称为势垒穿透或隧道效应。

# 一维谐振子

谐振子： 谐振子势能

$$U(x)=\dfrac 12kx^2=\dfrac 12m\omega^2x^2$$

其中 $\omega=\sqrt{\dfrac km}$ 是角频率。解薛定谔方程知道谐振子能量

$$E_n=\left(n+\dfrac12\right)\hbar \omega=\left(n+\dfrac 12\right)h\nu$$

1. 能量是量子化的，等间距
2. 零点能 $E_0=\dfrac 12h\nu$，符合不确定关系
3. 宏观上能量连续

补充：谐振子的波函数，其中 $H_n$ 是厄密多项式

$$\psi_n(x)=\left(\dfrac \alpha{2n\sqrt \pi n!}\right)^{1/2}H_n(\alpha x)e^{-\alpha^2x^2/2},\quad \alpha=\sqrt{\dfrac {m\omega}{\hbar }}$$