问题 1：对称陀螺的 Liouville 可积性
考虑一个绕固定点自由旋转的对称陀螺（无平动，仅含转动自由度）。设固定点为 $O$，陀螺关于其对称轴的转动惯量为 $I_3$，关于垂直于对称轴的两个主轴的转动惯量相等，$I_1=I_2$。用 Euler 角 $(\phi,\theta,\psi)$ 描述陀螺的取向，其中 $\phi$ 为进动角，$\theta$ 为章动角，$\psi$ 为自转角。在 Euler 角下，对称陀螺的 Hamiltonian 为
$$H(\phi,\theta,\psi,p_\phi,p_\theta,p_\psi) = \frac{p_\theta^2}{2I_1} + \frac{(p_\phi - p_\psi \cos\theta)^2}{2I_1 \sin^2\theta} + \frac{p_\psi^2}{2I_3},$$其中正则动量为
$$p_\phi = \dfrac {\partial L}{\partial \dot \phi},\quad p_\theta=\dfrac {\partial L}{\partial \dot \theta},\quad p_\psi=\dfrac {\partial L}{\partial \dot \psi}.$$(a) 指出 $H$ 中不出现的循环坐标，并写出相应的守恒量。验证它们确实是运动常数。
(b) 写出该系统的三个守恒量 $F_1,F_2,F_3$（其中一个为 $H$ 本身）。显式计算它们两两之间的 Poisson 括号，证明它们相互对合：
$$\{F_i,F_j\}=0,\quad i,j=1,2,3.$$(c) 论证这三个守恒量是函数独立的，从而得出结论：该对称陀螺是 Liouville 可积的。
解： (a) Hamiltonian $H$ 中显式不出现的循环坐标是 $\phi,\psi$，对应的守恒量为 $p_\phi,p_\psi$，现在用 Poisson 括号验证它们是运动常数，这里标号 $\phi,\psi,\theta$ 分别为 $1,2,3$，则
$$\{p_\phi,H\}=\sum_{i=1}^3 \left(\frac{\partial p_1}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial p_1}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right)=-\frac{\partial H}{\partial \phi}=0,$$另一个是同理的。
(b) 得到 $F_1=p_\phi,F_2=p_\psi,F_3=H$，和 $H$ 有关的 Poisson 括号已经验证，而计算 $\{p_\phi,p_\psi\}=0$ 只需注意到
$$\dfrac {\partial p_i}{\partial q_j}=0,\quad \dfrac {\partial p_i}{\partial p_j}=\delta_{ij}.$$(c)
问题 2：用 Hamilton-Jacobi 方程求解对称陀螺
继续考虑问题 1 中的对称陀螺。该系统具有 $n=3$ 个自由度，其完全积分需依赖于 $3$ 个独立常数，可自然取为 $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\alpha_\phi,\alpha_\psi,E)$。
(a) 写出不含时 Hamilton-Jacobi 方程，设
$$S(\phi,\theta,\psi,\alpha_\phi,\alpha_\psi,E,t)=W(\phi,\theta,\psi,\alpha_\phi,\alpha_\psi,E)-Et,$$并写出 $W$ 所满足的方程。
(b)