问题 1：周期 Toda 链（$A_1$ 型）

$A_1$ 型周期 Toda 链（最简单的秩一情形）描述两个在圆周上运动、通过指数型最近邻势相互作用的粒子。设 $q_1,q_2$ 为它们的坐标，$p_1,p_2$ 为对应的共轭动量。Hamilton 量为

$$H(q_1,q_2,p_1,p_2) =\frac {p_1^2} {2} + \frac {p_2^2} {2} + e^{q_2 - q_1} + e^{q_1 - q_2}.$$

(a) 写出 Hamilton 的正则方程

$$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}.$$

(b) 证明总动量 $P = p_1 + p_2$ 守恒。

$$Q = \frac{q_1 + q_2}{2}, \quad q = q_1 - q_2,\quad P = p_1 + p_2, \quad p = \frac{p_1 - p_2}{2}.$$

用这些新变量写出 Hamilton 量，并求出运动方程。

解： (a) 展开 Hamilton 的正则方程为

$$\dot{q}_1 = p_1, \quad \dot{q}_2 = p_2,\quad \dot{p}_1 = e^{q_2 - q_1} - e^{q_1 - q_2}, \quad \dot{p}_2 = e^{q_1 - q_2} - e^{q_2 - q_1}.$$

(b) 根据守恒的定义，代入 (a) 的结果

$$\dot P =p_i\dot{p}_i + p_1(e^{q_1-q_2} - e^{q_2 - q_1}) + p_2(e^{q_2 - q_1} - e^{q_1 - q_2}) = 0.$$

$$H(Q,q,P,p) = \frac{P^2}{4} + p^2 + 2\cosh q.$$

对应的 Hamilton 方程为

$$\dot{Q} = \frac{P}{2}, \quad \dot{q} = 2p, \quad \dot{P} = 0, \quad \dot{p} = -2\sinh q.$$

问题 2：三维自由粒子

考虑质量为 $m$ 的粒子在 $\mathbb R^3$ 中自由运动。其相空间坐标为 $(x_i,p_i)$，Hamilton 量为

$$H(\mathbf r,\mathbf p) = \frac {\mathbf p^2} {2m} = \frac{p_1^2 + p_2^2 + p_3^2}{2m}.$$

角动量矢量为 $\mathbf L = \mathbf r \times \mathbf p$，即 $L_i = \varepsilon_{ijk} x_j p_k.$

(a) 利用 Poisson 括号

$$\{F,G\} = \sum_{i=1}^3 \left( \frac{\partial F}{\partial x_i} \frac{\partial G}{\partial p_i} - \frac{\partial F}{\partial p_i} \frac{\partial G}{\partial x_i} \right)$$

计算 $i=1,2,3$ 时的 $\{L_i,H\}.$

(b) 验证 $\{L_i,L_j\} = \varepsilon_{ijk} L_k.$

解： (a) 直接计算

$$\{L_i,H\}=\varepsilon_{ijk}\delta_{ij}p_kp_im^{-1}=0.$$

(b) 同样直接计算

$$\begin{array}{ll}\{L_i,L_j\}& = \varepsilon_{imn}\varepsilon_{jst} \{x_m p_n, x_s p_t\}\\[6pt] &= \varepsilon_{imn}\varepsilon_{jst} (\delta_{mr}\delta_{tr}p_n x_s - \delta_{nr}\delta_{sr}x_m p_t)\\[6pt] &= \delta^r_{m}\varepsilon_{imn}\varepsilon_{jsm}x_sp_n-\delta^r_{n}\varepsilon_{imn}\varepsilon_{jnt}x_mp_t\\[6pt] &= \delta^r_m\varepsilon_{mni}\varepsilon_{mjs}x_sp_n-\delta^r_n\varepsilon_{nim}\varepsilon_{ntj}x_mp_t\\[6pt] &= \delta^r_m(\delta^n_j\delta^i_s-\delta^n_s\delta^i_j)x_sp_n-\delta^r_n(\delta^m_j\delta^i_t-\delta^m_t\delta^i_j)x_mp_t\\[6pt] &= \delta^r_m\delta^i_jx_np_n+\delta^r_mx_ip_j-\delta^r_n x_jp_i+\delta^r_n\delta^i_jx_mp_m\\[6pt] &= x_ip_j-x_jp_i\\[6pt] &= \varepsilon_{ijk}L_k.\end{array}$$

$$\frac{dL_i}{dt} = \{L_i,H\} + \frac{\partial L_i}{\partial t} = 0.$$

这说明自由粒子运动时角动量守恒。

问题 3：第四类生成函数

设 $(p,q)$ 为旧正则坐标，$(Q,P)$ 为新正则坐标。第四类生成函数的形式为 $F_4(p,P,t)$，其中旧动量 $p$ 和新动量 $P$ 被取为独立变量。

(a) 写出生成函数的微分：

$$\mathrm dF_4(p,P,t)=\dfrac {\partial F_4}{\partial p}\mathrm dp + \dfrac {\partial F_4}{\partial P}\mathrm dP + \dfrac {\partial F_4}{\partial t}\mathrm dt.$$

通过比较旧作用量形式和新作用量形式 $(p_i\mathrm dq_i - H\mathrm dt)$ 与 $(P_i\mathrm dQ_i - K\mathrm dt)$，推导出正则变换关系

$$q_i = -\frac{\partial F_4}{\partial p_i}, \quad Q_i = \frac{\partial F_4}{\partial P_i}, \quad K = H + \frac{\partial F_4}{\partial t},$$

其中 $K(Q,P,t)$ 是新 Hamilton 量。

(b) 作为例子，取

$$F_4(p,P,t)=-p_i P_i + \varepsilon p_ig_i(P,t),$$

其中 $\varepsilon$ 为无穷小量。证明它生成如下无穷小正则变换

$$Q_i=-p_i + \varepsilon \frac {\partial g_j}{\partial q_i}p_j+\cdots , \quad P_i=q_i + \varepsilon g_i(q,t)+\cdots,$$

并确定该变换的生成元。

解： (a) 由正则变换的定义

$$p_i\mathrm dq_i - H\mathrm dt = P_i\mathrm dQ_i - K\mathrm dt + \mathrm dF$$

由于题目中 $p,P$ 被取为独立变量，所以通过 Legendre 变换

$$\mathrm d(F-pq+PQ)=Q_i\mathrm dP_i - q_i\mathrm dp_i + (K-H)\mathrm dt,$$

此时的微分形式才对应第四类生成函数，则

$$\frac {\partial F_4}{\partial p}\mathrm dp+\frac {\partial F_4}{\partial P}\mathrm dP + \frac {\partial F_4}{\partial t}\mathrm dt = Q_i\mathrm dP_i - q_i\mathrm dp_i + (K-H)\mathrm dt.$$

比较系数即可。

(b) 同上，在 (a) 的基础上

$$\mathrm dF_4=-p_i\mathrm dP_i - P_i\mathrm dp_i + \varepsilon \left( p_i\frac {\partial g_i}{\partial P_j}\mathrm dP_j + g_i\mathrm dp_i + p_i\frac {\partial g_i}{\partial t}\mathrm dt \right).$$

比较系数得到

$$P_i=q_i + \varepsilon g_i(P,t),\quad Q_i=-p_i + \varepsilon \frac {\partial g_j}{\partial P_i}p_j.$$

由于这是无穷小变换，所以 $P-q=O(\varepsilon)$，因此关于 $g$ 作展开

$$P_i=q_i+\varepsilon g_i(q+O(\varepsilon),t)=q_i+\varepsilon g_i(q,t)+\cdots.$$

同理，对于 $Q$ 也作展开

$$Q_i=-p_i + \varepsilon \frac {\partial g_j}{\partial P_i}(q+O(\varepsilon),t)p_j=-p_i + \varepsilon \frac {\partial g_j}{\partial q_i}p_j+\cdots.$$

相空间坐标的改变量可以写为

$$\delta Q_i=\varepsilon \frac {\partial g_j}{\partial q_i}p_j, \quad \delta P_i=\varepsilon g_i(q,t).$$

所以该变换的生成元为

$$G(q,p,t) = g_i(q,t)p_i.$$

问题 4：Laplace-Runge-Lenz 矢量

质量为 $m$ 的粒子在三维空间中的中心势 $V(r)$ 中运动。在平面极坐标下，Lagrange 量为

$$L(r,\theta,\dot{r},\dot{\theta}) = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2) - V(r).$$

(a) 通过 Legendre 变换构造 Hamilton 量 $H(r,\theta,p_r,p_\theta)$。

(b) Laplace-Runge-Lenz 矢量定义为

$$\mathbf A = \mathbf p \times \mathbf L - m \alpha\dfrac {\mathbf r}{r},$$

其中 $\mathbf L=\mathbf r \times \mathbf p$ 为角动量，$\alpha$ 为常数。用 $(x_i,p_i)$ 写出其直角分量 $A_i$。

(d) 证明在 Kelper 势中 LRL 矢量守恒，即 $\{A_i,H\}=0$。简要解释为什么这一守恒律是 $1/r$ 势所特有的。

解： (a) 根据定义 $H=p_r\dot{r}+p_\theta\dot{\theta}-L$，其中

$$p_r = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m\dot{r}, \quad p_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^2\dot{\theta}.$$

所以 Hamilton 量为

$$H(r,\theta,p_r,p_\theta) = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{p_\theta^2}{2mr^2} + V(r)=\frac {\mathbf p^2}{2m} + V(r).$$

(b) 沿用记号 $L_k=\varepsilon_{klm}x_lp_m$，则

$$\begin{array}{ll} (\mathbf p \times \mathbf L)_i&=\varepsilon_{ijk}p_jL_k\\[6pt]&=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}p_jx_lp_m\\[6pt]&=(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})p_jp_mx_l\\[6pt]&=\sum^3_{j=1}x_ip_j^2-p_ip_jx_j\\[6pt]&=\mathbf p^2x_i-(\mathbf r\cdot \mathbf p)p_i\end{array}$$

所以

$$A_i = \mathbf p^2x_i-(\mathbf r\cdot \mathbf p)p_i - m\alpha \frac{x_i}{r}.$$

$$\begin{array}{ll}\{\mathbf p^2x_i,H\}&=\mathbf p^2\{x_i,H\}+\{ \mathbf p^2,H\}x_i\\[6pt]&=\mathbf p^2\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial H}{\partial x_j}\frac{\partial \mathbf p^2}{\partial p_j}x_i\\[6pt]&=\mathbf p^2\frac{p_i}{m}-2x_i\mathbf p\cdot \nabla V\\[6pt]&=\frac {\mathbf p^2p_i}m - 2V'(r)\frac {\mathbf r\cdot \mathbf p}{r}x_i\end{array}$$

其次，

$$\begin{array}{ll}\{(\mathbf r\cdot \mathbf p)p_i,H\}&=(\mathbf r\cdot \mathbf p)\{p_i,H\}+\{ \mathbf r\cdot \mathbf p,H\}p_i\\[6pt]&=-(\mathbf r\cdot \mathbf p)\frac{\partial H}{\partial x_i}+\left( \{x_j,H\}p_j + x_j\{p_j,H\} \right)p_i\\[6pt]&=-(\mathbf r\cdot \mathbf p)\frac{\partial H}{\partial x_i}+\left( \frac{\partial H}{\partial p_j}p_j - x_j\frac{\partial H}{\partial x_j} \right)p_i\\[6pt]&=-V'(r)\frac {\mathbf r\cdot \mathbf p}{r}x_i + p_i(\frac {\mathbf p^2}m - V'(r)r).\end{array}$$

第三项，

$$\begin{array}{ll}\{m\alpha \frac{x_i}{r},H\}=m\alpha \{\frac {x_i}r,\frac {\mathbf p^2}{2m}\}=\alpha (\frac {\delta_{ij}}r-\frac {x_ix_j}{r^3})p_j\end{array}$$

综上，

$$\begin{array}{ll}\{A_i,H\}&=(rV'(r)-\frac \alpha r)p_i-(\frac {V'(r)}{r}-\frac \alpha{r^3})(\mathbf r\cdot \mathbf p)x_i\end{array}$$

(d) 在 Kepler 势中 $V(r)=-\frac kr$，所以 $V'(r)=\tfrac k{r^2}$，因此

$$\{A_i,H\}=(\tfrac kr-\tfrac \alpha r)p_i-(\tfrac k{r^3}-\tfrac \alpha{r^3})(\mathbf r\cdot \mathbf p)x_i=0.$$

可以反解 $\{A_i,H\}=0$ 的条件，得到

$$V'(r)=\frac \alpha{r^2},$$

这只能是 $1/r$ 势的特例。

问题 1：周期 Toda 链（$A_1$ 型）#

问题 2：三维自由粒子#

问题 3：第四类生成函数#

问题 4：Laplace-Runge-Lenz 矢量#

问题 1：周期 Toda 链（$A_1$ 型）

问题 2：三维自由粒子

问题 3：第四类生成函数

问题 4：Laplace-Runge-Lenz 矢量