问题 1：两粒子系统与质心运动

考虑一维空间中质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$ 的两个粒子，它们通过仅依赖于相对距离的势能相互作用：

$$H(q_1, q_2, p_1, p_2) = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + V(q_1 - q_2),$$

(a) 通过计算 $\{G,H\}$，证明总动量

$$G=p_1 + p_2$$

是一个守恒量。

(b) 质心坐标定义为

$$Q_{\mathrm{cm}}=\dfrac {m_1 q_1 + m_2 q_2}{m_1 + m_2}.$$

证明量

$$G'=(m_1+m_2)Q_{\mathrm{cm}}-(p_1 + p_2)t$$

也是守恒的。

(c) 解释 $G'$ 守恒的物理意义。

解： (a) $H$ 作为 Hamiltonian，满足

$$\dfrac {\partial H}{\partial p_1} = \dfrac{p_1}{m_1}, \quad \dfrac{\partial H}{\partial p_2} = \dfrac{p_2}{m_2},\quad \dfrac{\partial H}{\partial q_1} = V'(q_1 - q_2), \quad \dfrac{\partial H}{\partial q_2} = -V'(q_1 - q_2).$$

所以

$$\{G,H\} = -\dfrac {\partial H}{\partial q_1} - \dfrac{\partial H}{\partial q_2} = -V'(q_1 - q_2) + V'(q_1 - q_2) = 0.$$

考虑到结论

$$\dfrac {\mathrm dG}{\mathrm dt}=\dfrac {\partial G}{\partial t}+\sum \left(\frac{\partial G}{\partial q_i} \dot q_i + \frac{\partial G}{\partial p_i} \dot p_i\right) = \{G,H\} + \dfrac {\partial G}{\partial t} = 0,$$

因此 $G$ 是守恒量。

(b) 类似地，计算 $\{G',H\}$，同上公式

$$\begin{darray}{ll}\dfrac {\mathrm dG'}{\mathrm dt}&= -(p_1+p_2) + \{G',H\} \\[14pt]&=-(p_1+p_2)+m_1\cdot \dfrac {p_1}{m_1} + m_2\cdot \dfrac {p_2}{m_2} +V'(q_1-q_2)-V'(q_1-q_2) \\[14pt]&= 0.\end{darray}$$

(c) 将质量因子相除

$$\dfrac {G'}{m_1+m_2}=Q_{\mathrm{cm}}-\dfrac {p_1+p_2}{m_1+m_2}t,$$

第一项是质心位置，第二项是质心位置随时间的线性变化。$G'$ 的守恒意味着质心以恒定速度运动，这反映了系统的平移对称性。

问题 2：含时守恒量

考虑质量为 $m$ 的粒子在均匀重力场中运动，Hamiltonian 为

$$H(q,p)=\dfrac {p^2}{2m}+mgq,$$

其中 $q$ 为高度（向上为正），$g$ 为重力加速度。

(a) 证明量

$$G(q,p,t)=p+mgt$$

是运动常数。

(b) 直接求解 Hamilton 方程得到 $q(t)$ 和 $p(t)$，并验证在轨迹上取值的 $G(q(t),p(t),t)$ 确实为常数。

(c) 给出 $G$ 的物理解释。该守恒量对应于系统的何种对称性。

解： (a) 计算

$$\dfrac {\mathrm dG}{\mathrm dt} = \dfrac {\partial G}{\partial t} + \{G,H\} = mg + \{p+mgt, H\}=mg - mg = 0,$$

所以 $G(q,p,t)$ 是守恒量。

(b) 根据 Hamilton 方程

$$\dot q = \dfrac {\partial H}{\partial p} = \dfrac {p}{m}, \quad \dot p = -\dfrac {\partial H}{\partial q} = -mg,$$

由此，常微分方程的解为

$$p(t) = p(0) - mgt, \quad q(t) = q(0) + \dfrac {p(0)}{m}t - \dfrac {1}{2}gt^2.$$

将 $p(t)$ 代入 $G$ 中

$$G(q(t),p(t),t) = p(0) - mgt + mgt = p(0),$$

确实为常数。

(c) $\dot G$ 的物理意义是粒子受到的合外力等于重力，$G$ 的物理意义是粒子的速度在重力作用下的线性变化。这对应系统的时间平移对称性。

问题 3：三个耦合谐振子

考虑三个相等质量 $m$ 由弹簧（劲度系数均为 $k$）连接成线性链。令 $q_1,q_2,q_3$ 为偏离平衡位置的位移。Hamiltonian 为

$$H=\dfrac {1}{2m}(p_1^2+p_2^2+p_3^2)+\dfrac {k}{2}[(q_1-q_2)^2+(q_2-q_3)^2+(q_3-q_1)^2].$$

(a) 计算 $\{p_1+p_2+p_3,H\}$ 并解释结果。

(b) 考虑量

$$G=p_1q_2-p_2q_1+p_2q_3-p_3q_2+p_3q_1-p_1q_3.$$

计算 $\{G,H\}$ 并判断 $G$ 是否守恒。

(c) 你能否确定 $G$ 对应于何种物理对称性？

解： (a) 计算

$$\{p_1+p_2+p_3,H\} = -\dfrac {\partial H}{\partial q_1} - \dfrac {\partial H}{\partial q_2} - \dfrac {\partial H}{\partial q_3} = k\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 (q_i - q_j) = 0,$$

因此 $p_1+p_2+p_3$ 是守恒量。这反映了系统的平移对称性，因为系统受到的合外力为零，所以质心保持静止。

(b) 计算，其中 $\{i,j,k\}=\{1,2,3\}$，则（注意系数 $k$ 和指标 $k$ 无关）

$$\dfrac {\partial H}{\partial q_i}= k(2q_i - q_j - q_k), \quad \dfrac {\partial H}{\partial p_i} = \dfrac {p_i}{m},$$

容易计算

$$\dfrac {\partial G}{\partial q_i} = -\varepsilon_{ijk}(p_j - p_k), \quad \dfrac {\partial G}{\partial p_i} = \varepsilon_{ijk}(q_j - q_k),$$

进一步计算

$$\begin{darray}{ll}\{G,H\}&=\sum_{i=1}^3 \left[\dfrac {\partial G}{\partial q_i} \dfrac {\partial H}{\partial p_i} - \dfrac {\partial G}{\partial p_i} \dfrac {\partial H}{\partial q_i}\right] \\[14pt]&=\sum^3_{i=1}(-\varepsilon_{ijk})\left[\dfrac {p_i(p_j-p_k)}{m}+k(q_j-q_k)[(q_i-q_j)-(q_k-q_i)]\right] \end{darray}$$

考虑 $p$ 项，等式相当于对 $i,j,k$ 做循环求和 $(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)$，不难看出等于 $0$；同理，对 $q$ 项，求和后也等于 $0$。因此 $\{G,H\}=0$，$G$ 是守恒量。

(c) $G$ 的形式可以写为

$$\mathbf p=\begin{pmatrix}p_1 \\ p_2 \\ p_3\end{pmatrix}, \quad \mathbf q=\begin{pmatrix}q_1 \\ q_2 \\ q_3\end{pmatrix},\quad \mathbf p\times \mathbf q = \begin{pmatrix}p_2q_3 - p_3q_2 \\ p_3q_1 - p_1q_3 \\ p_1q_2 - p_2q_1\end{pmatrix},$$

进一步，考虑法向量 $\mathbf n = (1,1,1)^\top$，则

$$G = \mathbf n \cdot (\mathbf p \times \mathbf q)=-(\mathbf q \times \mathbf p)\cdot \mathbf n,$$

这说明系统在 $\mathbf n$ 方向的投影的角动量是守恒的。这对应于系统绕 $\mathbf n$ 轴的旋转对称性。

问题 4：两个守恒量的 Poisson 括号

Poisson 定理指的是：若 $F$ 和 $G$ 是 Hamilton 系统的两个守恒量（即 $\dot F=\dot G=0$），则它们的 Poisson 括号 $\{F,G\}$ 也是一个守恒量。

(a) 利用 Jacobi 恒等式证明 Poisson 定理。

(b) 将该定理应用于中心势粒子的角动量分量 $L_x,L_y$。已知 $L_x,L_y$ 各自守恒，该定理对 $\{L_x,L_y\}$ 有何预测？显式计算 $\{L_x,L_y\}$ 并验证其确实守恒（注意 $L_z=\{L_x,L_y\}$ 是守恒的）。

解： (a) Jacobi 恒等式表明对于任意三个函数 $F,G,H$，有

$$\{F,\{G,H\}\} + \{G,\{H,F\}\} + \{H,\{F,G\}\} = 0.$$

这里取 $H$ 为 Hamiltonian，则 $\dot F=\dot G=0$ 意味着

$$\{F,H\}+\dfrac {\partial F}{\partial t} = 0, \quad \{G,H\}+\dfrac {\partial G}{\partial t} = 0.$$

将上述等式代入 Jacobi 恒等式中，得到

$$-\{F,G_t\} + \{G,F_t\}-\dfrac {\partial \{F,G\}}{\partial t} + \{H,\{F,G\}\}+\dfrac {\partial \{F,G\}}{\partial t} = 0,$$

事实上

$$\dfrac {\partial \{F,G\}}{\partial t} = \{F_t,G\} + \{F,G_t\}=-\{G,F_t\} + \{F,G_t\},$$

因此综上可以说明 $\{F,G\}$ 是守恒量，证明了 Poisson 定理。

(b) 该定理表明 $\{L_x,L_y\}$ 也是守恒量。回忆第 7 次作业问题 2，我们已经给出

$$\{L_i,L_j\} = \varepsilon_{ijk}L_k,$$

的证明，这里略去。对 $i=x,j=y,k=z$，两侧取 $t$ 的全导数，得证。