线性算子 $T:\mathbb F^n\to\mathbb F^n$ 作用在向量 $\alpha \in\mathbb F^n$ 上，我们关心它的不变性。所以有不变子空间的概念，例如 $V\subseteq \mathbb F^n$ 是 $T$ 的不变子空间，意味着选取 $V$ 的一组基底进行线性扩张，则能得到以下表示矩阵

$$\begin{pmatrix}A&*\\ 0&B\end{pmatrix}$$

其中 $*$ 不一定为零元，这说明 $V$ 是 $T$ 最终的收缩核。特别地，如果 $\dim V=1$，则 $\beta$ 是 $T$ 的特征向量，其中 $V=\mathrm {span}\{\beta\}$，具体地

$$\exists \lambda \in \mathbb F,\text{ s.t. }T\beta=\lambda \beta$$

将这些特征向量元组 $(\lambda ,\beta)$ 收集起来，记线性算子 $T$ 的 $\lambda$-特征子空间为

$$V_\lambda =\{\beta \in \mathbb F^n:T\beta=\lambda \beta\}=:\{\beta \in\mathbb F^n:T_\lambda \beta=0\}$$

其中 $T_\lambda :=T-\lambda I$。这个特征子空间只不过是多个一维不变子空间（一维收缩核）的直和。那么作为收缩核，其核空间会最终平稳

$$\ker T_\lambda \subseteq \ker T^2_\lambda \subseteq \cdots \subseteq \ker T^N_\lambda =\ker T^{N+1}_\lambda =\cdots$$

于是 $\ker T^N_\lambda$ 中的元素只要作用 $T_\lambda$ 就会最终收缩到 $\ker T_\lambda$ 中的一个特征向量上。而具体落在哪一个特征向量上，是由 $\ker T^N_\lambda$ 中元素的链条决定的：对于任意 $\alpha \in \ker T^N_\lambda$，存在最小的 $k\in\{0,1,\cdots,N\}$ 使得

$$T^i_\lambda \alpha \notin V_\lambda ,\forall i 则称 $k$ 是 $\alpha$ 的阶数。对于 $\alpha$ 的链条

$$\alpha\to T_\lambda \alpha \to T^2_\lambda \alpha \to \cdots \to T^k_\lambda \alpha(\in V_\lambda)\to T^{k+1}_\lambda \alpha =0$$

容易验证 $\{\alpha, T_\lambda \alpha, \cdots, T^k_\lambda \alpha\}$ 是线性无关的（ $T_\lambda$ 限制在 $\ker T^N_\lambda$ 上是幂零的），这构成了一个循环子空间。如果将所有这种最终收缩到 $V_\lambda$ 的向量都收集起来，得到的空间就是 $\lambda$-根子空间，定义为

$$R_\lambda (T)=\{\alpha \in \mathbb F^n:\exists k\in \mathbb N, T^k_\lambda \alpha=0\}$$

根子空间是对特征子空间概念的扩张，考虑了本来不一定是，但最终是特征向量的广义特征向量。进一步的结构，根据不同特征值的根子空间是直和关系，考虑将线性算子限制在不同根子空间上（是幂零的），应用上述结论进行拆分。

如果 $AB=BA$ 交换，那么两者的特征子空间互为不变子空间。另外，限制在不变子空间上，线性算子有表示

$$T(\alpha_1,\cdots,\alpha_k)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_k)A$$