参考资料：《数学分析之课程讲义》，于品。

A

B

C

D

(1) 当 $n=m$ 时，结果为 $a_0/b_0$；当 $m>n$ 时，结果为 $0$；当 $m

(2) $0$.

(3) $0$.

(4) $0$.

(5) $e^3$.

(6) $0$.

(7) $0$.

(8) $6$.

(9) $\dfrac {n(n+1)}{2}$.

(10) $\dfrac {49}{24}$.

(11) $\dfrac {m-n}2$.

(12) $a$.

(13) $\dfrac ab$.

(14) $1$.

(15) $\sqrt {ab}$.

(16) $\dfrac {\sum_{i=1}^k a_i}k$.

(17) $2n$.

(18) $1$.

(19) $e$.

(20) 当 $\alpha =\frac 12$ 时，结果为 $1$；当 $\alpha<\frac 12$ 时，结果为 $+\infty$；当 $\alpha>\frac 12$ 时，结果为 $0$.

(21) 当 $\alpha =\frac 18$ 时，结果为 $1$；当 $\alpha <\frac 18$ 时，结果为 $0$；当 $\alpha >\frac 18$ 时，结果为 $+\infty$.

E

我们的基准函数是 $f_0(x)=x$，不妨设 $x=0$ 不是间断点。对于题设的可数集，记作 $\{a_n\}$，则构造函数列

$$f_n(x)=\begin{dcases}f_{n-1}(x)+\frac 1{2^n},&x\geq a_n\\[12pt] f_{n-1}(x),&x 则 $f_n$ 是有且仅有 $\{a_1,\cdots,a_n\}$ 这 $n$ 个间断点的单调函数，且 $f_n\to f$ 是一致收敛的，对于任意 $x $$f(x)=f_0(x)+\sum^\infty_{n=1}\frac 1{2^n}\cdot \mathbf 1_{[a_n,+\infty)}(x)\leq f_0(y)+\sum^\infty_{n=1}\frac 1{2^n}\cdot \mathbf 1_{[a_n,+\infty)}(y)=f(y)$$

从中也可以看出，有且仅有 $A$ 上的点才是 $f$ 的间断点。

F

构造辅助函数

$$F(x)=f(x)-x$$

则 $F(0)\geq 0,\ F(1)\leq 0$，所以以下集合非空且有界

$$A:=\{x\in [0,1]:F(x)\geq 0\}$$

从而 $A$ 存在上确界 $c\in[0,1]$；由于递增性质

$$x\leq f(x)\leq f(c),\quad \forall x\in A$$

所以 $f(c)$ 是 $A$ 的一个上界，这说明 $f(c)\geq c$；另一方面，作用

$$f(f(c))\geq f(c)$$

所以 $f(c)\in A$，说明 $f(c)\leq c$，综上 $f(c)=c$.

G*

通过 $\phi(1-x)$ 共轭地作用在 $f$ 或 $g$ 上（如果有必要的话），题目被归纳为 $f(x)>x,\ g(x)>x$ 在 $(0,1)$ 上恒成立的情况。此时取任意 $x_0\in (0,1)$，则

$$f^n(x_0)>f^{n-1}(x_0)>\cdots >f(x_0)>x_0,\quad g^n(x_0)>g^{n-1}(x_0)>\cdots >g(x_0)>x_0$$

同时这是有上界的，其上确界是 $f$ 的不动点。那么（同理）

$$\lim_{n\to \infty}f^n(x_0)=1,\quad \lim_{n\to -\infty}f^n(x_0)=0$$

同理对 $g$ 也选取某一个参考点 $y_0$，得到

$$\lim_{n\to \infty}g^n(y_0)=1,\quad \lim_{n\to -\infty}g^n(y_0)=0$$

上述单调序列可以导出对 $(0,1)$ 的一个划分，下面分片构造双射。考虑双射

$$h_0:[x_0,f(x_0)]\to [y_0,g(y_0)],\quad h_0(x)=y_0+\frac {g(y_0)-y_0}{f(x_0)-x_0}(x-x_0)$$

这样的线性插值满足

$$h_0(x_0)=y_0,\quad h_0(f(x_0))=g(y_0)=g(h_0(x_0))$$

即

$$h_0=g^{-1}\circ h_0\circ f,\quad \forall x\in [x_0,f(x_0)]$$

同样的构造可以延拓到每个划分区间上，一般地

$$h=g^{-n}\circ h_0\circ f^n,\quad \forall x\in [f^{-n}(x_0),f^{-n+1}(x_0)]$$

这是限制在 $[f^{-n}(x_0),f^{-n+1}(x_0)]\to [g^{-n}(y_0),g^{-n+1}(y_0)]$ 上的双射，由于上述的定义域和值域，在遍历 $n$ 后，可以拼接成双射

$$h:(0,1)\to (0,1)$$

现在只剩下验证分割点和端点的连续性。这里不再赘述。