参考资料：《数学分析之课程讲义》，于品。

A

A1

考虑当 $x>y$ 时

$$|e^x-e^y|=e^y|e^{x-y}-1|\geq e^y(x-y)$$

所以在 $\mathbb R$ 上不是一致连续的。而对于足够小的 $\delta$，当 $|x-y|<\delta$ 时

$$|e^x-e^y|=e^y|e^{x-y}-1|\leq e^y\cdot 2\delta\leq 2\delta$$

在 $(-\infty,0]$ 上是一致连续的。

B

B1

有估计

$$\sqrt [3]{x+\varepsilon}-\sqrt [3]{x}=\frac {\varepsilon}{\sqrt [3]{(x+\varepsilon)^2}+\sqrt [3]{(x+\varepsilon)x}+\sqrt [3]{x^2}}\leq \varepsilon^{\frac 13}.$$

从而一致连续。

B2

考虑

$$\log \frac 2n-\log \frac 1n=\log 2$$

但 $\frac 2n-\frac 1n\to 0$，所以不一致连续。

B3

考虑

$$\cos \frac 1{\frac {1}{2n\pi +\frac \pi 2}}-\cos \frac 1{\frac {1}{2n\pi}}=-1$$

但 $\frac {1}{2n\pi +\frac \pi 2}-\frac {1}{2n\pi}\to 0$，所以不一致连续。

B4

分拆成两个区间 $(0,1]\cup [\frac 12,+\infty)$，对于 $(0,1]$，考虑补充定义 $f(0)=0$，则由 Cantor 定理，$f$ 在 $[0,1]$ 上一致连续；对于 $[\frac 12,+\infty)$，求导即可，或者

$$(x+\varepsilon)\cos\dfrac 1{x+\varepsilon}-x\cos \dfrac 1x\leq (x+\varepsilon)-x\cos\dfrac 1x\leq \varepsilon +x\left(1-\cos \dfrac 1x\right)\leq \varepsilon +2x\sin^2\dfrac 1{2x}\to \varepsilon$$

C

C1

$$\lim_{\varepsilon\to 0}\dfrac {\ln (1+\varepsilon)}{\varepsilon^\alpha}=\lim_{\varepsilon\to 0}\dfrac {\varepsilon}{\varepsilon^\alpha}=\lim_{\varepsilon\to 0}\varepsilon^{1-\alpha}$$

C2

$$\lim_{\varepsilon\to 0}\dfrac {e(e^\varepsilon -1)}{\varepsilon^\alpha}=\lim_{\varepsilon\to 0}\dfrac {e\varepsilon}{\varepsilon^\alpha}=\lim_{\varepsilon\to 0}e\varepsilon^{1-\alpha}$$

C3

$$\lim_{\varepsilon\to 0}\dfrac {(1+\varepsilon)^{1+\varepsilon}-1}{\varepsilon^\alpha}=\lim_{\varepsilon\to 0}\dfrac {e^{(1+\varepsilon)\ln (1+\varepsilon)}-1}{\varepsilon^\alpha}=\lim_{\varepsilon\to 0}\dfrac {(1+\varepsilon)\ln (1+\varepsilon)}{\varepsilon^\alpha}=\lim_{\varepsilon\to 0}\dfrac {(1+\varepsilon)\varepsilon}{\varepsilon^\alpha}=\lim_{\varepsilon\to 0}\varepsilon^{1-\alpha}$$