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参考资料：《数学分析之课程讲义》，于品。 A A1 先证明必要性，存在极限，则 $$|f(x_1)-f(x_2)|\leq |f(x_1)-\lim_{x\to x_0}f(x)|+|\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_2)|$$ 再证明充分性，反证，假设不存在极限，则存在 $\varepsilon>0$ 和两个数列 $x_n,y_n$ 都趋于 $x_0$，使得 $|f(x_n)-f(y_n)|\geq \varepsilon$，矛盾。 A2 构造函数列 $\chi_{[10n,10n+1]}* \rho$，其中 $\rho$ 是 Friedrich 磨光核。这是 $\mathbb R$-线性无关集。 A3 对任意 $x_n\to x_0$，有 $f(x_n)\to f(x_0)$，从而 $g\circ f(x_n)\to g\circ f(x_0)$，所以 $g\circ f$ 在 $x_0$ 处连续。 A4 对任意 $x_n\xrightarrow{d_X}x_0$，有正实数 $c_1,c_2$ 使得 $$c_1d_X(x_n,x_0)\leq d'_X(x_n,x_0)\leq c_2d_X(x_n,x_0)$$ 所以极限性质是等价的。 A5 在 $\mathbb R^n$ 上的 $L^p$ 范数等价。 A6 考虑 $$\|[f\pm g](x)-[f\pm g](x_0)\|\leq \|f(x)-f(x_0)\|+\|g(x)-g(x_0)\|$$ 从而证明第一个命题。考虑 $$\|[f\cdot g](x)-[f\cdot g](x_0)\|\leq \|f\|\|g(x)-g(x_0)\|\leq \|f\|\|g\|\|x-x_0\|$$ 从而证明第二个命题。考虑 ...

参考资料：《数学分析之课程讲义》，于品。 A B C D (1) 当 $n=m$ 时，结果为 $a_0/b_0$；当 $m>n$ 时，结果为 $0$；当 $m...

参考资料：《数学分析之课程讲义》，于品。 A A1 考虑当 $x>y$ 时 $$|e^x-e^y|=e^y|e^{x-y}-1|\geq e^y(x-y)$$ 所以在 $\mathbb R$ 上不是一致连续的。而对于足够小的 $\delta$，当 $|x-y|<\delta$ 时 $$|e^x-e^y|=e^y|e^{x-y}-1|\leq e^y\cdot 2\delta\leq 2\delta$$ 在 $(-\infty,0]$ 上是一致连续的。 B B1 有估计 $$\sqrt [3]{x+\varepsilon}-\sqrt [3]{x}=\frac {\varepsilon}{\sqrt [3]{(x+\varepsilon)^2}+\sqrt [3]{(x+\varepsilon)x}+\sqrt [3]{x^2}}\leq \varepsilon^{\frac 13}.$$ 从而一致连续。 B2 考虑 $$\log \frac 2n-\log \frac 1n=\log 2$$ 但 $\frac 2n-\frac 1n\to 0$，所以不一致连续。 B3 考虑 $$\cos \frac 1{\frac {1}{2n\pi +\frac \pi 2}}-\cos \frac 1{\frac {1}{2n\pi}}=-1$$ 但 $\frac {1}{2n\pi +\frac \pi 2}-\frac {1}{2n\pi}\to 0$，所以不一致连续。 B4 分拆成两个区间 $(0,1]\cup [\frac 12,+\infty)$，对于 $(0,1]$，考虑补充定义 $f(0)=0$，则由 Cantor 定理，$f$ 在 $[0,1]$ 上一致连续；对于 $[\frac 12,+\infty)$，求导即可，或者 ...

参考资料：《数学物理方程讲义》，姜礼尚。 pp160.4 应用 Fourier 变换求解以下定解问题： $\begin{cases}u_t-a^2u_{xx}-bu_x-cu=f(x,t),&x\in\mathbb R,t>0,\\[14pt] u(x,0)=\varphi(x),&x\in\mathbb R.\end{cases}$ 其中 $a,b,c$ 是常数； $\begin{cases}u_{xx}+u_{yy}=0,&x\in\mathbb R,y>0,\\[14pt] u(x,0)=\varphi(x),&x\in\mathbb R.\end{cases}$ 设 $\varphi(x)$ 连续有界，求问题的有界解。 解： 求解是在速降空间 $S(\mathbb R)$ 中进行的。 (1) 应用 Fourier 变换，得到 $$\begin{darray}{ll}F[f](\xi)&=F[u_t](\xi)-a^2F[u_{xx}](\xi)-bF[u_x](\xi)-cF[u](\xi)\\[14pt] &=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}F[u](\xi)+a^2\xi^2F[u](\xi)-ib\xi F[u](\xi)-cF[u](\xi)\\[14pt] &=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}F[u](\xi)+\bigl(a^2\xi^2-ib\xi-c\bigr)F[u](\xi).\end{darray}$$ 将 $F[u](\xi)$ 看作 $t$ 的函数（$\xi$ 为参数）$F[u](\xi)=F[u](\xi,t)$，得到一个常系数线性微分方程，解为（Duhamel 原理） $$F[u](\xi)=e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)t}\left(F[\varphi](\xi)+\int^t_0e^{(a^2\xi^2-ib\xi-c)\tau}F[f](\xi,\tau)\mathrm d\tau\right).$$ 再应用 Fourier 反演，得到 $$u(x,t)=F^{-1}[e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)t}F[\varphi](\xi)](x)+F^{-1}\left[\int^t_0e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)(t-\tau)}F[f](\xi,\tau)\mathrm d\tau\right](x).$$ 首先求解热核 $$F^{-1}[e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)t}](x)=\frac 1{\sqrt {2\pi}}\int^\infty_{-\infty}e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)t}e^{ix\xi}\mathrm d\xi=\frac {e^{-\frac {(x+bt)^2}{4a^2t}+ct}}{a\sqrt {2t}}:=G(x,t).$$ 由卷积公式 $$F^{-1}[\hat G\cdot \hat \varphi](x)=G*\varphi(x)=\int^\infty_{-\infty}G(x-y,t)\varphi(y)\mathrm dy=\int^\infty_{-\infty}\frac {e^{ct}}{a\sqrt {2t}}e^{-\frac {(x-y+bt)^2}{4a^2t}}\varphi(y)\mathrm dy.$$ 由于反演公式的线性性，第二项与 $t$ 的积分可以交换，得到 ...

问题 1：周期 Toda 链（$A_1$ 型） $A_1$ 型周期 Toda 链（最简单的秩一情形）描述两个在圆周上运动、通过指数型最近邻势相互作用的粒子。设 $q_1,q_2$ 为它们的坐标，$p_1,p_2$ 为对应的共轭动量。Hamilton 量为 $$H(q_1,q_2,p_1,p_2) =\frac {p_1^2} {2} + \frac {p_2^2} {2} + e^{q_2 - q_1} + e^{q_1 - q_2}.$$(a) 写出 Hamilton 的正则方程 $$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}.$$(b) 证明总动量 $P = p_1 + p_2$ 守恒。 (c) 引入质心与相对坐标 $$Q = \frac{q_1 + q_2}{2}, \quad q = q_1 - q_2,\quad P = p_1 + p_2, \quad p = \frac{p_1 - p_2}{2}.$$ 用这些新变量写出 Hamilton 量，并求出运动方程。 ...

参考资料：《数学分析习题课讲义》（第 2 版），谢惠民。

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