极值原理

弱极值原理

强极值原理

调和函数

设 $\Omega \subseteq \mathbb R^d$ 是开区域，如果 $u\in C^2(\Omega)$ 满足 $\Delta u=0$，则称 $u$ 是 $\Omega$ 上的调和函数，记作 $u\in \mathcal H(\Omega)$。调和函数是 Laplace 方程的解，继承其性质。

球面平均性

球面平均性：如果 $u\in \mathcal H(\Omega)$，则对任意 $r\in (0,R]$ 和 $x\in \Omega$ 满足 $B_R(x)\subseteq \Omega$，有

$$u(x)=\frac 1{|\partial B_r(0)|}\int_{\partial B_r(x)} u(y)\mathrm dS=\dfrac 1{|B_r(0)|}\int_{B_r(x)} u(y)\mathrm dy=: h(x;r).$$

反过来，如果 $u\in C^2(\Omega)$ 在 $x\in \Omega$ 满足上述球面平均性，则 $\Delta u(x)=0$.

从连续性出发

$$u(x)=\lim_{r\to 0}\frac 1{|\partial B_r(0)|}\int_{\partial B_r(x)} u(y)\mathrm dS=\lim_{r\to 0}\dfrac 1{|\partial B_1(0)|}\int_{\partial B_1(0)} u(x+ry)\mathrm dS=:\lim_{r\to 0} h(x;r).$$

考虑含参积分

$$\begin{darray}{ll}\partial_r h(x;r)&=\dfrac 1{|\partial B_1(0)|}\int_{\partial B_1(0)} \nabla u(x+r\omega)\cdot \omega\mathrm d S_\omega\\[14pt]&=\dfrac 1{|\partial B_r(0)|}\int_{\partial B_r(x)} \dfrac {y-x}{r}\cdot \nabla u(y)\mathrm dS_y\\[14pt]&=\dfrac 1{|\partial B_r(0)|}\int_{\partial B_r(x)} \dfrac {\partial u}{\partial \mathbf n}(y)\mathrm dS_y\\[14pt]&=\dfrac 1{|\partial B_r(0)|}\int_{B_r(x)} \mathrm{div}(\nabla u)(y)\mathrm dy\\[14pt]&=\dfrac rd\cdot \dfrac 1{|B_r(0)|}\int_{B_r(x)} \Delta u(y)\mathrm dy\end{darray}$$

其中

$$r|\partial B_r(0)|=\int_{\partial B_r(0)}y\cdot\mathbf n\mathrm dS_y=\int_{B_r(0)} \mathrm{div} y\mathrm dy=\int_{B_r(0)} d\mathrm dy=d|B_r(0)|.$$

如果 $u\in\mathcal H(\Omega)$，则

$$\begin{darray}{ll}\dfrac 1{|B_r(0)|}\int_{B_r(x)} u(y)\mathrm dy&=\dfrac d{r^d|\partial B_1(0)|}\int_0^r\int_{\partial B_\rho(0)} u(x+y)\mathrm dS_y\mathrm d\rho\\[14pt]&=\dfrac d{r^d|\partial B_1(0)|}\int_0^ru(x)\rho^{d-1}|\partial B_1(0)|\mathrm d\rho\\[14pt]&=u(x)\end{darray}$$

反过来，如果 $u\in C^2(\Omega)$ 满足 $\partial_r h(x;r)=0$，则 $\Delta u(x)=0$，这由连续性保证。

Poisson 公式：如果 $u\in \mathcal H(B_R(0))$，则对于任意 $x\in B_R(0)$，有

$$u(\xi)=\dfrac {R^2-|\xi|^2}{\omega_n R}\int_{\partial B_R(0)} \dfrac{u(x)}{|\xi-x|^n}\mathrm dS_x.$$

其中 $|\xi| $$K_r(\tau)=\dfrac {R^{n-2}(R^2-r^2)}{\omega_n |R^2+r^2-2Rr\tau|^{\frac n2}},\quad \tau\in[-1,1],$$

这里 $\tau=\cos\langle r\omega,\eta \rangle$ 的夹角的余弦，那么上述公式可以写成球面卷积

$$u(\xi)=u(r\omega)=u_a*K_r(\omega)=\int_{S^{n-1}} u(a\eta)K_r(\omega\cdot \eta)\mathrm dS_\eta,$$

……………………

解析性

作为球面平均的应用

Harnack 不等式：对于连通集 $V\subseteq\subseteq \Omega\subseteq \mathbb R^n$，存在 $C(V)\in \mathbb R^+$，使得对于任意非负 $u\in \mathcal H(\Omega)$，有

$$\max_{x\in V} u(x)\leq C(V)\min_{x\in V} u(x).$$

这说明调和函数在闭包紧的连通子集上的变化受到一致控制。根据紧性，先考虑单个分片。由球面平均性，不同点的值可以由球体积联系起来，考虑任意 $x,y\in V$ 满足 $|x-y|\leq r:=4^{-1}\mathrm{dist}(V,\partial \Omega)$，则

$$u(x)=\dfrac 1{|B_{2r}(x)|}\int_{B_{2r}(x)} u(z)\mathrm dz\geq \dfrac 1{|B_{2r}(x)|}\int_{B_r(y)} u(z)\mathrm dz=\dfrac{|B_r(0)|}{|B_{2r}(0)|}u(y)=2^{-n}u(y).$$

其中用到非负条件。由于对称性，有

$$2^{-n}u(x)\leq u(y)\leq 2^nu(x),\quad \forall x,y,\text{ s.t. }|x-y|\leq r.$$

可见，两点的值相互控制，且系数仅与维数有关。现在考虑 $u$ 在 $V$ 上的最大、最小值点 $X,X'$。由于 $V$ 闭包紧，则存在有限覆盖

$$V\subseteq \bigcup_{i=1}^N B_r(x_i),\quad x_i\in \overline V, \ B_r(x_i)\cap V\neq \varnothing.$$

由于 $V$ 连通，所以每个球至少与另一个球相交，从而可以找到一条球链

$$X\in B_r(x_1),\quad B_r(x_i)\cap B_r(x_{i+1})\neq \varnothing,\quad i=1,\cdots,N-1,\quad X'\in B_r(x_N).$$

另外，$B_r(x_i)\subseteq \Omega$，因此可以构造折线

$$Xx_1x'_1x_2x'_2\cdots x_{N-1}x_{N-1}'x_NX',\quad x'_i\in B_r(x_i)\cap B_r(x_{i+1}),\ i=1,\cdots,N-1.$$

相邻顶点受到控制，进而

$$\max_{x\in V} u(x)\leq 2^{2nN}\min_{x\in V} u(x).$$

这个结果可以推广到有限个连通分支的情况。

Harnack 收敛定理：设 $\{u_k\}$ 是连通区域 $\Omega$ 上的一个单调不减的调和函数序列

$$u_1\leq u_2\leq \cdots \leq u_k\leq \cdots$$

在 $\Omega$ 内一点收敛，则存在 $u\in \mathcal H(\Omega)$ 使得

$$u_k\to u,\ \forall x\in \Omega;\quad u_k\rightrightarrows u,\ \forall x\in V\subseteq\subseteq \Omega$$

对单调不减的调和函数序列应用 Harnack 不等式，考虑 $v_k=u_k-u_{k-1}\geq 0$。不妨设 $u_k(P)\to u(P)$，其中 $P\in V$，那么 $v_k(P)\to 0$，由 Harnack 不等式，对任意 $Q\in V$，有

$$0\leq v_k(Q) \leq \max_{x\in V} v_k(x)\leq C(V)\min_{x\in V} v_k(x)\leq C(V)v_k(P)$$

这个控制是一致的，进一步可以应用 Cauchy 收敛准则

$$0\leq \|u_n-u_m\|_{L^\infty(V)}\leq \sum_{k=m+1}^n \|v_k\|_{L^\infty(V)}\leq C(V)\sum_{k=m+1}^n v_k(P)=C(V)(u_n(P)-u_m(P))\to 0.$$

从而说明紧集上的一致收敛性。应用球面平均性，对于任意 $x\in \Omega$，由于对 $r$ 的一致收敛性，有

$$u(x)=\lim_{k\to\infty}u_k(x)=\lim_{k\to\infty}\frac 1{|\partial B_r(0)|}\int_{\partial B_r(x)} u_k(y)\mathrm dS=\frac 1{|\partial B_r(0)|}\int_{\partial B_r(x)} u(y)\mathrm dS,$$

所以 $u\in \mathcal H(\Omega)$，因此 $u\in \mathcal H(\Omega)$；再考虑

$$V_{\varepsilon}=\{x\in \Omega:\mathrm{dist}(x,\partial \Omega)\geq \varepsilon,\ |x|\leq \varepsilon^{-1}\},$$

可以说明 $\Omega$ 上的点态收敛性。

解析性：如果 $u\in \mathcal H(\Omega)$，则 $u$ 是 $\Omega$ 上解析。

考虑 Friedrichs 光滑子 $\rho_\varepsilon$，对任意 $x\in \Omega_\varepsilon:=\{x\in \Omega:\mathrm{dist}(x,\partial \Omega)\geq \varepsilon\}$，有

$$\begin{darray}{ll}C^\infty \ni u_\varepsilon(x):=\rho_\varepsilon * u(x)&=\int_{\mathbb R^n} u(y)\rho_\varepsilon(x-y)\mathrm dy\\[14pt]&=\dfrac 1{\varepsilon^n}\int_0^\varepsilon\int_{|\omega|=1} u(x+r\omega)\rho\left(\dfrac r\varepsilon\right)r^{n-1}\mathrm d\omega\mathrm dr\\[14pt]&=u(x)\cdot \dfrac 1{\varepsilon^n} \int^\varepsilon_0\int_{|\omega|=1}\rho\left(\dfrac r\varepsilon\right)r^{n-1} \mathrm d\omega \mathrm dr\\[14pt]&=u(x)\cdot \rho_\varepsilon * 1\\[14pt]&=u(x) \end{darray}$$

再证明解析性，对于 $\xi_0\in\Omega$，考虑 Poisson 公式，只需说明积分式解析

$$\begin{darray}{rl}u(\xi)=&\dfrac {R^2-|\xi|^2}{\omega_n R}\int_{\partial B_R(0)} \dfrac{u(x)}{|\xi-x|^n}\mathrm dS_x\\[14pt]\sim& \int_{\partial B_R(0)} \dfrac{u(x)}{|\xi-x|^n}\mathrm dS_x\\[14pt]\xlongequal{\sigma:=\frac {2x\xi-|\xi|^2}{R^2}}&\int_{\partial B_R(0)} u(x)R^{-n}(1-\sigma)^{-n/2}\mathrm dS_x\\[14pt]\xlongequal{\text{Let }|\xi|\leq R/3,\ \text{then }\sigma\leq 7/9}&\int_{\partial B_R(0)} u(x)R^{-n}\sum_{k\geq 0} b_k\sigma^k\mathrm dS_x\\[14pt]\xlongequal{\text{Abs. convergence}}&\sum_{k\geq 0} b_k R^{-n}\int_{\partial B_R(0)} u(x)\sigma^k\mathrm dS_x\\[14pt]=&\sum_{k\geq 0} b_k R^{-n}P_k(\xi)\\[14pt]\xlongequal{\text{Abs. convergence}}&\sum_{\alpha}c_\alpha \xi^\alpha\end{darray}$$

前面的条件和操作基于 $(1-\sigma)^{-n/2}$ 的幂级数展开的收敛性，最后一步是因为积分式 $P_k(\xi)$ 是 $\xi$ 分量的 $2k$ 次多项式，所以

………………………………

高阶导数估计：如果 $u\in \mathcal H(\Omega)$，则对任意 $B_r(x)\subseteq \Omega$ 和指标 $\alpha$，有

$$|D^\alpha u(x)|\leq \dfrac{(2^{n+1}n|\alpha|)^{|\alpha|}}{r^{|\alpha|+n}}\cdot \dfrac 1{|B_r(0)|}\int_{B_r(x)} |u(y)|\mathrm dy.$$

由调和函数定义和解析性，$\partial_i u$ 也是调和函数，有估计

$$\begin{darray}{rl}|\partial_i u(x)|\leq& \left|\dfrac 1{|B_{\frac r2}(0)|}\int_{B_{\frac r2}(x)} \partial_i u(y)\mathrm dy\right|\\[14pt]\xlongequal{\text{Divergence Theorem}}&\left|\dfrac {2^n}{r^n|B_1(0)|}\int_{\partial B_{\frac r2}(x)} u(y)\mathbf n_i\mathrm dS_y\right|\\[14pt]\leq &\dfrac {2n}{r}\|u\|_{L^\infty(\partial B_{\frac r2}(x))}\end{darray}$$

这里之所以选取 $r/2$ 而非 $r$ 是因为上述不等式只能达到 $\|\cdot \|_{L^\infty}$ 的控制，但由于球面平均，我们可以进一步控制

$$\|u\|_{L^\infty(\partial B_{\frac r2}(x))}\leq \sup_{y\in \partial B_{\frac r2}(x)}\dfrac 1{|B_{\frac r2}(0)|}\int_{B_{\frac r2}(y)} |u(z)|\mathrm dz\leq \dfrac {2^n}{|B_r(0)|}\int_{B_r(x)} |u(y)|\mathrm dy=\dfrac {2^n}{r^n|B_1(0)|}\|u\|_{L^1(B_r(x))}.$$

所以半径的选取是为了下一步估计留出空间，从而对 $|\alpha|=1$ 的情况有

$$|\partial_i u(x)|\leq \dfrac{2^{n+1}n}{|B_1(0)|}\cdot \dfrac 1{r^{n+1}}\|u\|_{L^1(B_r(x))}.$$

接下来归纳地证明 $\beta$ 的情况，其中 $|\beta|=|\alpha|+1$，同理，但选取 $r/|\alpha|$ 作为半径。

作为一个推论

Liouville 定理：如果 $u\in\mathcal H(\mathbb R^n)$ 且 $u$ 有界，则 $u$ 是常数。

根据之前的证明

$$|Du|\leq \dfrac {2n}r\|u\|_{L^\infty(\partial B_{\frac r2}(x))}\leq \dfrac {2n}{r}\|u\|_{L^\infty(\mathbb R^n)},\quad \forall r>0.$$

因此 $Du=0$，所以 $u$ 是常数。