参考资料：《数学物理方程讲义》，姜礼尚；《数学物理方程》（第三版），谷超豪。

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J.pp162.5(1)(3)(5)

证明在 $\mathcal D'(\mathbb R)$ 意义下：

• $\varphi(x)\delta(x)=\varphi(0)\delta(x)$；
• $x\delta^{(m)}(x)=-m\delta^{(m-1)}(x)$；
• $(H(x)\rho(x))'=\delta(x)\rho(0)+H(x)\rho'(x)$

其中 $H(x)$ 是 Heaviside 函数，$\rho,\varphi\in C^\infty(\mathbb R)$.

解： (1) 这里 $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)$，作为乘子作用在 $\delta$ 上。取任意 $\psi\in \mathcal D(\mathbb R)$，则

$$\langle \varphi(x)\delta(x),\psi\rangle =\langle \delta(x),\varphi(x)\psi\rangle =\varphi(0)\psi(0)=\langle \varphi(0)\delta(x),\psi\rangle.$$

(3) 对于任意 $\psi\in \mathcal D(\mathbb R)$，这里用到算子导数：

$$\begin{darray}{ll}\langle x\delta^{(m)}(x),\psi\rangle &=\langle \delta^{(m)}(x),x\psi\rangle \\[12pt]&=(-1)^{m}\langle \delta(x),(x\psi)^{(m)}\rangle \\[12pt]&=(-1)^{m}\langle \delta(x),\psi^{(m)}x+m\psi^{(m-1)}\rangle \\[12pt]&=(-1)^{m}m\langle \delta(x),\psi^{(m-1)}\rangle \\[12pt]&=\langle -m\delta^{(m-1)}(x),\psi\rangle.\end{darray}$$

(5) 对于任意 $\psi\in \mathcal D(\mathbb R)$，同上（乘子是交换的）

$$\begin{darray}{ll}\langle (H(x)\rho(x))',\psi\rangle &= \langle (\rho(x)H(x))',\psi\rangle \\[12pt]&= -\langle H(x),\rho(x)\psi'\rangle \\[12pt]&= -\int_0^\infty \rho(x)\psi'(x)\mathrm dx\\[12pt]&= -\psi(0)\rho(0)+\int_0^\infty \rho'(x)\psi(x)\mathrm dx\\[12pt]&= \langle \delta(x)\rho(0)+H(x)\rho'(x),\psi\rangle.\end{darray}$$

J.pp162.6

计算

• $(|x|)^{(m)},\ m\in \mathbb N$；
• $(H(x)\sin x)'$；
• $(H(x)e^{ax})''$.

解： 本题的结论可以参考 J.pp162.5(1)(3)(5) 的结果。

(1) 在 $\mathcal D'(\mathbb R)$ 意义下，因为 $|x|\in\mathcal L_{\mathrm{loc}}(\mathbb R)$，所以 $|x|$ 可以看成一个广义函数。对于任意 $\psi\in \mathcal D(\mathbb R)$，考虑到

$$|x|=x(H(x)-H(-x))=2xH(x)-x,$$

所以由算子的 Leibniz 公式，且 $H(x)'=\delta(x)$，有

$$\begin{darray}{ll}(|x|)^{(m)}&=2\sum_{k=0}^m \binom{m}{k} x^{(k)}H(x)^{(m-k)}-x^{(m)}\\[6pt]&\displaystyle =\begin{dcases} 2H(x)-1=\mathrm{sgn}(x), & m=1 \\[6pt] 2x\delta^{(m-1)}+2m\delta^{(m-2)}(x)=2\delta^{(m-2)}(x), & m\geq 2 \end{dcases}\end{darray}$$

(2) 直接计算，用 Leibniz 公式

$$(H(x)\sin x)'=\delta(x)\sin x+H(x)\cos x=H(x)\cos x.$$

(3) 同上

$$(H(x)e^{ax})''=a^2 H(x)e^{ax}+2a\delta(x)e^{ax}+\delta'(x)e^{ax}=\delta'(x)+2a\delta(x)+a^2 H(x)e^{ax}.$$

J.pp162.7(3)

求广义函数 $f'(x)$，其中

• $f(x)=\begin{cases}x^2, &-1\leq x\leq 1\\0, &|x|>1\end{cases}$.

解： 对于广义函数，

$$f(x)=x^2H(1-|x|)$$

参考 J.pp162.6 的结果和 Leibniz 公式，得到

$$(f)'=2xH(1-|x|)-x^2\delta(1-|x|)(|x|)'=2xH(1-|x|).$$

注意，$\delta(1-|x|)$ 的支撑是 $\pm 1$，而 $|x|'=\mathrm{sgn}(x)$ 在 $\pm 1$ 处的值分别为 $\pm 1$，这可以用泛函的定义来严格说明。

G.pp163.1

证明：若 $\varphi_\nu(x)\in C^\infty_c(\mathbb R_x^n),\ \psi(y)\in C^\infty_c(\mathbb R_y^m)$，则 $\varphi_\nu(x)\psi(y)\in C^\infty_c(\mathbb R_x^n\times \mathbb R_y^m)$，且当 $\varphi_\nu(x)\to 0(C^\infty_c(\mathbb R_x^n))$ 时，$\varphi_\nu(x)\psi(y)\to 0(C^\infty_c(\mathbb R_x^n\times \mathbb R_y^m))$.

解： 在乘积空间中，$\mathrm{supp}(\varphi_\nu(x)\psi(y))\subseteq \mathrm{supp}(\varphi_\nu)\times \mathrm{supp}(\psi)$，后者是一个紧集。另一方面，乘积空间的偏微分算子作用在 $\varphi_\nu(x)\psi(y)$ 上是分离的，这只依赖于 $\varphi_\nu$ 和 $\psi$ 的光滑性。下面证明 $\mathcal D(\mathbb R^n)$ 拓扑下的收敛结论，根据定义，

$$\varphi_\nu(x)\psi(y)\to 0$$

等价于存在一致紧支撑 $K\subset\subset \Omega$，并且对于任意指标 $\alpha$ 有

$$\lim_{\nu\to\infty}\max_{x\in K} |D^\alpha (\varphi_\nu(x)\psi(y))|=0.$$

根据已知条件，$\varphi_\nu(x)$ 有一致紧支撑 $\hat K$

$$\mathrm{supp}(\varphi_\nu(x)\psi(y))\subseteq \mathrm{supp}(\varphi_\nu)\times \mathrm{supp}(\psi)\subseteq \hat K\times \mathrm{supp}(\psi)=:K.$$

对于任意指标 $\alpha$，用 Leibniz 公式，

$$D^\alpha (\varphi_\nu(x)\psi(y))=\sum_{\beta\leq \alpha} \binom{\alpha}{\beta} D^\beta \varphi_\nu(x) D^{\alpha-\beta}\psi(y).$$

由于 $\alpha$ 是给定且有限的，所以

$$\max_{\beta\le\alpha}\max_{x\in K} |D^{\alpha-\beta} \psi(y)|<\infty.$$

因而

$$\max_{x\in K} |D^\alpha (\varphi_\nu(x)\psi(y))|\le \max_{\beta\le\alpha}\max_{x\in K} |D^{\alpha-\beta} \psi(y)| \cdot \max_{\beta\le\alpha}\max_{x\in K} |D^\beta \varphi_\nu(x)|\cdot 2^{|\alpha|}.$$

$\beta$ 的个数有限，所以当 $\nu\to\infty$ 时，不等式右端是一致趋于 $0$ 的。

G.pp163.5

若 $P(x),Q(x)$ 为常系数多项式，$Q(\partial)$ 为将 $Q(x)$ 中的 $x_i$ 用 $\frac {\partial}{\partial x_i}$ 代替后所得到的偏微分算子。试证 $\nu\to\infty$ 时下列命题等价：

• $\varphi_\nu(x)\to 0(\mathcal S(\mathbb R^n))$；
• 对任意给定的 $P(x),Q(x)$，$P(x)Q(\partial)\varphi_\nu(x)\to 0$ 在 $\mathbb R^n$ 上一致成立；
• 对任意给定的 $P(x),Q(x)$，$Q(\partial)(P(x)\varphi_\nu(x))\to 0$ 在 $\mathbb R^n$ 上一致成立。

解： (1) 在 $\mathcal S(\mathbb R^n)$ 上，这等价于对于任意指标 $\alpha,\beta$，有

$$\lim_{\nu\to\infty}\max_{x\in \mathbb R^n} |x^\alpha D^\beta \varphi_\nu(x)|=0.$$

(2) 已知 (1)，可以看出 $Q(\partial)$ 是多个混合偏微分算子的线性组合 $q_iQ_i$，$P(x)$ 也是多个单项式 $p_iP_i$ 的线性组合，在取定后，它们是有限的，取 $\max$，或者

$$\max_{x\in\mathbb R^n}|P(x)Q(\partial)\varphi_\nu(x)| \leq\sum_{i,j}\max_{x\in \mathbb R^n} |p_i q_j P_i(x) Q_j(\partial)\varphi_\nu(x)|\to 0.$$

求和是有限个，所以这是一致趋于 $0$ 的。反过来，(1) 显然是 (2) 的特例。

(3) 同上，考虑 Leibniz 公式，$Q(\partial)(P(x)\varphi_\nu(x))$ 最后可以展开成有限项 $x^\alpha D^\beta \varphi_\nu(x)$ 的线性组合，所以可以用 (1) 来说明 (3) 的结论。反过来，已知 (3)，考虑 $Q(\partial)=D^\beta$ 和 $P(x)=x^\alpha$ 的特例，得到

$$D^\beta (x^\alpha \varphi_\nu(x))=x^\alpha D^\beta \varphi_\nu(x)+\sum_{0<\gamma\leq \beta} \binom{\beta}{\gamma} D^\gamma x^\alpha D^{\beta-\gamma}\varphi_\nu(x).$$

右侧第一项是 (1) 中需要估计的项，我们知道左侧是趋于 $0$ 的，右侧第二项是有限项的线性组合，且 $D^\gamma x^\alpha$ 的每个单项式的指标都小于 $\alpha$。不妨对 $x$ 的指标归纳，当 $\alpha=0$ 时，

$$D^\beta \varphi_\nu(x)=x^0 D^\beta \varphi_\nu(x)\to 0.$$

每次只在 $x$ 的一个指标上加 $1$，假设 $|\alpha|\leq k$ 时收敛结论成立，那么当 $|\alpha|=k+1$ 时，

$$D^\beta (x^\alpha \varphi_\nu(x))=x^\alpha D^\beta \varphi_\nu(x)+\sum_{0<\gamma\leq \beta} \binom{\beta}{\gamma} D^\gamma x^\alpha D^{\beta-\gamma}\varphi_\nu(x),$$

求和项中每个单项式的 $x$ 的指标都不大于 $k$，所以根据归纳假设，这些项是一致趋于 $0$ 的，所以第二项也趋于 $0$。归纳完成。从而 (3) 推出 (1)。

G.pp163.7

判断下列一元函数属于哪些广义函数空间？

• $\sin x$；
• $x$；
• $e^{x^2}$；
• $f(x)=\begin{cases}1, &|x|\le 1\\0, &|x|>1\end{cases}$；

解： 有三类广义函数空间 $\mathcal E'\subseteq \mathcal S'\subseteq \mathcal D'$。题目中的函数都属于 $\mathcal L_{\mathrm{loc}}(\mathbb R)$，所以自然可以看作是 $\mathcal D'(\mathbb R)$ 的广义函数，满足广义函数的定义

$$\langle g,\varphi\rangle =\int_{\mathbb R} g(x)\varphi(x)\mathrm dx, \quad \forall \varphi\in \mathcal D(\mathbb R).$$

此外，考虑序列 $\varphi_n\in \mathcal D(\mathbb R)$ 是趋于 $0$ 的函数列，且一致紧支撑，则对于常义积分，极限交换

$$\lim_{n\to\infty} \langle g,\varphi_n\rangle =\lim_{n\to\infty} \int_{\mathbb R} g(x)\varphi_n(x)\mathrm dx=0=\int_{\mathbb R} g(x)\lim_{n\to\infty} \varphi_n(x)\mathrm dx=0.$$

所以以上一元函数都属于 $\mathcal D'(\mathbb R)$。

另一方面，对于任意 $\varphi,\psi\in \mathcal S(\mathbb R)$，有

$$\langle g,\varphi+\psi\rangle =\int_{\mathbb R} \dfrac {g(x)}{1+|x|^4}(1+|x|^4)(\varphi(x)+\psi(x))\mathrm dx.$$

当 $g$ 取 $\sin x,x,f(x)$ 时，$\frac {g(x)}{1+|x|^4}$ 绝对可积，而且 $(1+|x|^4)\varphi(x)\in \mathcal S(\mathbb R)$，所以上述算子是良定义的线性算子，以下结果说明连续性：对于任意 $\varphi_n\in \mathcal S(\mathbb R)$ 是趋于 $0$ 的函数列

$$\begin{darray}{ll}\lim_{n\to\infty} \langle g,\varphi_n\rangle &=\lim_{n\to\infty} \int_{\mathbb R} \dfrac {g(x)}{1+|x|^4}(1+|x|^4)\varphi_n(x)\mathrm dx\\[12pt]&\leq \lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb R} \left|\dfrac {g(x)}{1+|x|^4}\right|\max_{x\in \mathbb R} |(1+|x|^4)\varphi_n(x)|\mathrm dx\\[12pt]&\leq \lim_{n\to\infty} \int_{\mathbb R} \dfrac {1}{1+|x|^2}\cdot \max_{x\in \mathbb R} |(1+|x|^4)\varphi_n(x)|\mathrm dx = 0.\end{darray}$$

最后一步实际上是函数列积分，这是根据绝对可积，这是可以换序的。所以 $\sin x,x$ 和 $f(x)$ 也属于 $\mathcal S'(\mathbb R)$。而以下结果说明 $e^{x^2}\notin \mathcal S'(\mathbb R)$：

$$\langle e^{x^2},e^{-x^2}\rangle =\int_{\mathbb R} e^{x^2}e^{-x^2}\mathrm dx=\int_{\mathbb R} 1\mathrm dx=\infty.$$

严谨地，构造速降函数列 $e^{-x^2}*\chi_{[-n,n]}(x)\to e^{-x^2}$，这可以说明上述算子并不连续。

最后，考虑任意 $\varphi\in \mathcal E(\mathbb R)$。考虑构造

$$\varphi_n(x)=\chi_{[-1,1]}*\chi_{[0,\frac \pi2]}(x-2n\pi)$$

在 $\mathcal E(\mathbb R)$ 的意义下，$\varphi_n\to 0$，但是

$$\langle \sin x,\varphi_n\rangle =\int_{\mathbb R} \sin x \chi_{[-1,1]}*\chi_{[0,\frac \pi2]}(x-2n\pi)\mathrm dx>\int_0^{\frac \pi2} \sin x\mathrm dx>0.$$

所以 $\sin x\notin \mathcal E'(\mathbb R)$。同上，$x\notin \mathcal E'(\mathbb R)$。此外，$e^{x^2}\notin \mathcal S'(\mathbb R)\supseteq \mathcal E'(\mathbb R)$。最后，$f(x)$ 本身是紧支撑的，根据定义，对任意 $C^\infty(\mathbb R)\ni \varphi_n\to 0$，这推出对于任意指标 $\alpha \in \mathbb Z$，有

$$\lim_{n\to\infty}\max_{x\in [-1,1]} |D^\alpha \varphi_n(x)|=\lim_{n\to\infty}\max_{x\in [-1,1]} |f(x)\cdot D^\alpha \varphi_n(x)|=0.$$

所以

$$\langle f,\varphi_n\rangle =\int_{-1}^1 f(x)\varphi_n(x)\mathrm dx\leq 2\max_{x\in [-1,1]} |f(x)\cdot \varphi_n(x)|\mathrm dx\to 0.$$

所以只有 $f(x)$ 属于 $\mathcal E'(\mathbb R)$。

G.pp167.2

证明：若 $T$ 为 $\mathcal D'$ 广义函数，$\alpha$ 为 $\mathcal D'(\mathbb R^n)$ 的乘子，则

$$\partial _j(\alpha T)=\alpha\cdot \partial _j T+\partial _j \alpha\cdot T.$$

解： 对于任意 $\varphi\in \mathcal D(\mathbb R^n)$

$$\begin{darray}{ll}\langle \partial _j(\alpha T),\varphi\rangle &=-\langle \alpha T,\partial_j \varphi\rangle \\[12pt]&=-\langle T,\alpha \partial_j \varphi\rangle \\[12pt]&=-\langle T,\partial_j (\alpha \varphi)\rangle +\langle T,(\partial_j \alpha)\varphi\rangle \\[12pt]&=\langle \partial_j T,\alpha \varphi\rangle +\langle T,(\partial_j \alpha)\varphi\rangle \\[12pt]&=\langle \alpha\cdot \partial _j T+\partial _j \alpha\cdot T,\varphi\rangle.\end{darray}$$

G.pp167.4

用

$$\left\langle \dfrac {\partial T}{\partial x_k},\varphi \right\rangle =-\left\langle T,\dfrac {\partial \varphi}{\partial x_k} \right\rangle,\quad \forall \varphi\in \mathcal S(\mathbb R^n)$$

来定义 $\mathcal S'(\mathbb R^n)$ 上的广义函数的导数。试证 $\frac {\partial}{\partial x_k}$ 是 $\mathcal S'(\mathbb R^n)$ 上的一个线性连续映射。

解： 这里简记 $\partial_k=\frac {\partial}{\partial x_k}$。在 $\mathcal S(\mathbb R^n)$ 中，考虑任意趋于 $0$ 的函数列 $\varphi_n\to 0$，这等价于对于任意指标 $\alpha,\beta$，有

$$\lim_{n\to\infty}\max_{x\in \mathbb R^n} |x^\alpha D^\beta \varphi_n(x)|=0.$$

从而，根据 $T\in \mathcal S'(\mathbb R^n)$ 是连续线性算子，且 $\partial_k \varphi_n$ 也是趋于 $0$ 的函数列，所以

$$\lim_{n\to\infty}\langle \partial_k T,\varphi_n\rangle =\lim_{n\to\infty} -\langle T,\partial_k \varphi_n\rangle =-\lim_{n\to\infty} \langle T,\partial_k \varphi_n\rangle =0.$$

于是 $\partial_k T\in\mathcal S'(\mathbb R^n)$，这说明 $\partial_k$ 是 $\mathcal S'(\mathbb R^n)$ 上的一个映射。

证明线性性，对于任意 $T_1,T_2\in \mathcal S'(\mathbb R^n)$ 和 $\varphi\in \mathcal S(\mathbb R^n)$，有

$$\begin{darray}{ll}\langle \partial_k (T_1+T_2),\varphi\rangle &=-\langle T_1+T_2,\partial_k \varphi\rangle \\[12pt]&=-\langle T_1,\partial_k \varphi\rangle -\langle T_2,\partial_k \varphi\rangle \\[12pt]&=\langle \partial_k T_1,\varphi\rangle +\langle \partial_k T_2,\varphi\rangle \\[12pt]&=\langle \partial_k T_1+\partial_k T_2,\varphi\rangle.\end{darray}$$

数乘是显然的，于是线性性得证。

证明连续性，考虑任意 $T_n\in \mathcal S'(\mathbb R^n)$ 是趋于 $0$ 的广义函数列，这等价于对于任意 $\varphi\in \mathcal S(\mathbb R^n)$，有

$$\lim_{n\to\infty} \langle T_n,\varphi\rangle =0.$$

那么

$$\lim_{n\to\infty} \langle \partial_k T_n,\varphi\rangle =\lim_{n\to\infty} -\langle T_n,\partial_k \varphi\rangle =-\lim_{n\to\infty} \langle T_n,\partial_k \varphi\rangle =0.$$

因此 $\partial_k T_n\to 0$，$\partial_k$ 是连续的。

G.pp167.8(2)

试证下列函数作为广义函数弱收敛于 $\delta(x)$：

• $\dfrac 1\pi \dfrac {\alpha}{\alpha^2+x^2}$，当 $\alpha\to 0$ 时；

解： 作为广义函数 $\frac 1\pi \frac {\alpha}{\alpha^2+x^2}\in \mathcal D'(\mathbb R)$，这里认为弱收敛是弱 -$\ast$ 收敛，即对于任意 $\varphi\in \mathcal D(\mathbb R)$，有

$$\begin{darray}{ll}\lim_{\alpha\to 0} \left\langle \dfrac 1\pi \dfrac {\alpha}{\alpha^2+x^2},\varphi\right\rangle &=\lim_{\alpha\to 0} \int_{\mathbb R} \dfrac 1\pi \dfrac {\alpha}{\alpha^2+x^2}\varphi(x)\mathrm dx\\[12pt]&=\lim_{\alpha\to 0} \mathrm{sgn}(\alpha)\int_{\mathbb R} \dfrac 1\pi \dfrac {1}{1+t^2}\varphi(\alpha t)\mathrm dt\\[12pt]&=\int_{\mathbb R}\dfrac 1\pi \dfrac {1}{1+t^2}\varphi(0)\mathrm dt\\[12pt]&=\varphi(0)=\langle \delta(x),\varphi\rangle.\end{darray}$$

换序是由一致收敛保证的。

Extra

证明 Fourier 变换是速降函数空间到自身的线性连续变换。

解： 回顾 Fourier 变换的定义：

$$F[f](\xi) =\dfrac 1{(2\pi )^{d/2}}\int_{\mathbb{R}^d} e^{-ix\cdot \xi}f(x)\mathrm dx.$$

显然这是线性的。下面证明 $F:\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)\to \mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ 是连续变换。对于 $f\in \mathcal{S}(\mathbb{R}^d)\subseteq C^\infty (\mathbb{R}^d)$，

$$\lim_{|x|\to \infty} |x^\alpha D^\beta f(x)|=0, \quad \forall \alpha, \beta.$$

因此，由速降函数的性质，以下积分对 $\xi$ 是一致收敛的，所以可以交换微分和积分的次序：

$$\begin{darray}{ll}\xi^\alpha D^\beta F[f](\xi) &= \dfrac {\xi^\alpha}{(2\pi )^{d/2}}D^\beta \int_{\mathbb{R}^d} e^{-ix\cdot \xi}f(x)\mathrm dx \\[12pt]&=\dfrac {(-i)^{|\beta|}}{(2\pi )^{d/2}}\int_{\mathbb{R}^d} e^{-ix\cdot \xi}\xi^{\alpha} x^{\beta} f(x)\mathrm dx\\[12pt]&=\dfrac {(-i)^{|\beta|}}{(2\pi )^{d/2}}\int_{\mathbb{R}^d} x^\beta f(x)(-i)^{-\alpha}D^\alpha ( e^{-ix\cdot \xi})\mathrm dx\\[12pt]&=\dfrac {(-i)^{|\beta|+|\alpha|}}{(2\pi )^{d/2}}\int_{\mathbb{R}^d} D^\alpha (x^{\beta} f(x)) e^{-ix\cdot \xi}\mathrm dx.\end{darray}$$

由 Riemann-Lebesgue 定理，因为 $D^\alpha (x^{\beta} f(x))\in\mathcal L^1_{}(\mathbb{R}^d)$，所以对上述取模长，再取 $|\xi|\to \infty$，得到

$$\lim_{|\xi|\to \infty} |\xi^\alpha D^\beta F[f](\xi)|=0.$$

因此 $F[f]\in \mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$。由模长不等式，展开

$$\begin{darray}{ll}|\xi^\alpha D^\beta F[f](\xi)|&\leq \dfrac 1{(2\pi )^{d/2}} \sum_{\gamma\leq \alpha} \binom{\alpha}{\gamma} \int_{\mathbb{R}^d}|D^\gamma x^\beta D^{\alpha-\gamma} f(x)| \mathrm dx\\[12pt]&\leq \dfrac 1{(2\pi )^{d/2}} \sum_{\gamma\leq \alpha} \binom{\alpha}{\gamma} \int_{\mathbb R^d}\dfrac {1}{1+|x|^2}(1+|x|^2)|D^\gamma x^\beta D^{\alpha-\gamma} f(x)| \mathrm dx \end{darray}$$

进一步，根据 $\mathcal S(\mathbb R^n)$ 中的连续性定义，考虑任意趋于 $0$ 的函数列 $f_n\to 0$，这显然推出上面的不等式右端关于 $n$ 是一致趋于 $0$ 的，所以

$$\lim_{n\to\infty} \max_{\xi\in \mathbb{R}^d} |\xi^\alpha D^\beta F[f_n](\xi)|=0.\quad \forall \alpha,\beta.$$

综上，我们证明了 Fourier 变换是 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ 上的线性连续变换。