传递、混合、压缩、扩张

设 $f:S\to S,\ g:T\to T$ 是连续映射，如果有同胚 $h:S\to T$ 使得 $h\circ f=g\circ h$，则称 $f,g$ 拓扑共轭，$h$ 是共轭映射；如果除去 $h$ 的同胚条件，只保留满射，则称 $g$ 是 $f$ 的因子，$h$ 是半共轭映射。

稠密与周期

考虑 $S^1\cong \mathbb R/\mathbb Z$ 上的旋转映射（这等价于）

$$x\mapsto x+\alpha\mod 1.$$

根据有理性分类轨道：

$$\# \mathcal O(x)=\begin{cases}\infty, & \alpha\in \mathbb R\setminus \mathbb Q,\\[6pt]<\infty, & \alpha\in \mathbb Q.\end{cases},\quad \forall x\in S^1.$$

特别地，由 Weyl 定理，$\overline {\mathcal O(x)}=S^1$ 当且仅当 $\alpha\in \mathbb R\setminus \mathbb Q$.

设 $f\in C(X)$，如果存在 $x\in X$ 使得双向轨道 $\mathcal O(x)=\{f^n(x)\}_{n\in\mathbb Z}$ 在 $X$ 中稠密，则称 $f$ 是拓扑传递的；如果对于任意 $x\in X$，都有 $\overline {\mathcal O(x)}=X$，则称 $f$ 是拓扑极小的。其中 $f$ 不一定是同胚，因此 $f^{-n}$ 表示取 $n$ 次原像。

上述定义基于轨道分类，传递性是对轨道的刻画，极小性类比于不可约分支。所以极小性蕴含传递性，反过来不成立，考虑

$$f: S^1\times [0,1]\to S^1\times [0,1],\quad (x,y)\mapsto (x+\alpha,y).$$

其中 $[0,1]$ 配备半开拓扑，因此 $\alpha\in \mathbb R\setminus \mathbb Q$ 时，$f$ 关于 $(1,0)$ 的轨道稠密，但 $f$ 不极小，同时

$$X=\bigsqcup_{y\in [0,1]}\mathcal O((1,y)),\quad \forall \alpha\in \mathbb R\setminus \mathbb Q.$$

全空间可以分解为极小子轨道的（可交）并，这个观察比较无聊。

注意到

$$f^n(\mathcal O(x))=\mathcal O(f^n(x)),\quad \forall n\in \mathbb Z, x\in X,$$

因此定义 $f$ 的不变集 $A\subseteq X$ 为满足 $f(A)=A$ 的集合。极小性等价于 $X$ 是 $f$ 的唯一非空不变集（用到连续性）。

保测映射 $T:X\to X$，如果对任意 $A,B\subseteq X$ 可测，都有

$$\lim_{n\to \infty}\mu(T^{-n}(A)\cap B)=\mu(A)\mu(B),$$

则称 $T$ 是混合的。

Prop. 混合性蕴含遍历性。

Prop. 混合性只需对充分族中的集合验证。

Proof. $A,B\in\mathscr A$，其中 $A=\bigcup^n_{i=1}A_i$，$B=\bigcup^m_{j=1}B_j$，其中 $A_i,B_j\in\mathscr C$，则

$$\mu(T^{-n}(A)\cap B)=\mu\left(\bigcup^n_{i=1}\bigcup^m_{j=1}T^{-n}(A_i)\cap B_j\right)=\sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}\mu(T^{-n}(A_i)\cap B_j),$$

Thm. 给定 $L^2(X)$ 的一组 Schauder 基 $\Phi$，则 $T$ 混合，当且仅当对任意 $\phi,\psi\in \Phi$ 都有

$$\lim_{n\to \infty}\int_X \varphi(T^nx)\psi(x)\mathrm d\mu=\int_X \varphi(x)\mathrm d\mu\int_X \psi(x)\mathrm d\mu.$$

Proof. 充分性：因为 $\Phi$ 是 Schauder 基，在 $L^2(X)$ 是稠密的，所以成立。必要性，取 $\varphi=\chi _A,\ \psi=\chi _B$，特征函数族是 Schauder 基。

保测变换 $T:X\to X$，如果对任意 $\varphi,\psi\in L^2(X)$ 都有

$$\lim_{n\to\infty}\dfrac 1n\sum^{n-1}_{k=0}\left(\int_X (\varphi\circ T^k)\bar \psi\mathrm d\mu-\int_X \varphi\mathrm d\mu\int_X \bar \psi\mathrm d\mu\right)^2=0,$$

则称 $T$ 是弱混合的。

Prop. 混合性 $\implies$ 弱混合性 $\implies$ 遍历性。

Prop. 几个结果：

• $T_\gamma: S^1\to S^1,\quad x\mapsto x+\gamma$，不混合；
• $E_m$ 混合