参考资料：《数学物理方程讲义》，姜礼尚。
pp 212.1
设 $u(x)$ 是定解问题
$$\begin{cases}-\Delta u+c(x)u=f(x),&x\in \Omega,\\[6pt] u|_{\partial \Omega}=0,\end{cases}$$的一个解
(1) 如果 $c(x)\geq C_0>0$，则有估计
$$\max_{\overline \Omega} |u(x)|\leq C_0^{-1}\sup_{\Omega} |f(x)|.$$(2) 如果 $c(x)\geq 0$ 且有界，则
$$\max_{\overline \Omega} |u(x)|\leq M\sup_{\Omega} |f(x)|,$$其中 $M$ 依赖于 $c(x)$ 的界与 $\Omega$ 的直径；
(3) 如果 $c(x)<0$，试举反例说明上述最大模估计一般不成立。
解： (1)
pp 212.2
设 $u(x)$ 是定解问题
$$\begin{cases}-\Delta u+c(x)u=f(x),&x\in \Omega,\\[6pt] u|_{\partial \Omega}=0,\end{cases}$$pp 212.3
pp 212.4
pp 212.5
设 $\Omega_0$ 是三维有界区域，$\Omega=\mathbb R^3\setminus \overline{\Omega_0}$，又设 $u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline \Omega)$ 是外部问题
$$\begin{dcases}-\Delta u+c(x)u=0,&x\in \Omega,\\[6pt] u|_{\partial \Omega}=\varphi,\\[6pt] \lim_{|x|\to \infty} u(x)=l.\end{dcases}$$的解，其中 $c(x)\geq 0$ 且在 $\overline \Omega$ 上局部有界，则有估计
$$\sup_{\Omega}|u(x)|\leq \max\{|l|,\max_{\partial \Omega} |\varphi(x)|\}.$$pp212.17
求边值问题
$$\begin{dcases}-\Delta u=f(x,y),& (x,y)\in \Omega,\\[6pt] u|_{\partial \Omega}=\varphi,\end{dcases}$$的 Green 函数，其中
(1) $\Omega$ 是上半平面；
(2) $\Omega$ 是第一象限；
(3) $\Omega$ 是带形区域 $\{(x,y):-\infty 设 $B(R)$ 是以坐标原点为心、$R$ 为半径的三维球，试求球上的 Dirichlet 问题 的 Green 函数。 记 $B^+(R)=\{(x,y):x^2+y^2 的 Green 函数。如果 $u\in C^1(\overline {B^+(R)})\cap C^2(B^+(R))$ 是上述问题的解，试给出解的表达式。 记 $B^+(R)=\{(x,y):x^2+y^2 (1) $\begin{dcases}\Delta u=0,\\[6pt] u|_{\partial B^+(R)\cap \{y>0\}}=\varphi(x,y),\\[6pt] u|_{y=0}=0,&-R\leq x\leq R\end{dcases}$ 其中 $\varphi(\pm R,0)=0$； (2) $\begin{dcases}\Delta u=0,\\[6pt] u|_{\partial B^+(R)\cap \{y>0\}}=\varphi(x,y),\\[6pt] \dfrac {\partial u}{\partial y}\bigg|_{y=0}=\psi(x,0),&-R\leq x\leq R\end{dcases}$ 并证明当 $\varphi(x,y)$ 在 $\overline{\partial B^+(R)\cap \{y>0\}}$ 上连续时，所给出的形式解确实是相应问题的解。 证明第二边值问题pp212.18
pp212.19
pp212.21
pp212.23
其中 $C$ 为任意常数。
Extra 1
对于半球，计算 Green 函数在边界上的外法向导数，并证明相应的定理 21.1
？？？？？？？？？