Analytical Mechanics on Yukari's Blog

分析力学习题 10

Sun, 31 May 2026 00:00:00 +0000

问题 1：对称陀螺的 Liouville 可积性

考虑一个绕固定点自由旋转的对称陀螺（无平动，仅含转动自由度）。设固定点为 $O$，陀螺关于其对称轴的转动惯量为 $I_3$，关于垂直于对称轴的两个主轴的转动惯量相等，$I_1=I_2$。用 Euler 角 $(\phi,\theta,\psi)$ 描述陀螺的取向，其中 $\phi$ 为进动角，$\theta$ 为章动角，$\psi$ 为自转角。在 Euler 角下，对称陀螺的 Hamiltonian 为

$$H(\phi,\theta,\psi,p_\phi,p_\theta,p_\psi) = \frac{p_\theta^2}{2I_1} + \frac{(p_\phi - p_\psi \cos\theta)^2}{2I_1 \sin^2\theta} + \frac{p_\psi^2}{2I_3},$$

其中正则动量为

$$p_\phi = \dfrac {\partial L}{\partial \dot \phi},\quad p_\theta=\dfrac {\partial L}{\partial \dot \theta},\quad p_\psi=\dfrac {\partial L}{\partial \dot \psi}.$$

(a) 指出 $H$ 中不出现的循环坐标，并写出相应的守恒量。验证它们确实是运动常数。

(b) 写出该系统的三个守恒量 $F_1,F_2,F_3$（其中一个为 $H$ 本身）。显式计算它们两两之间的 Poisson 括号，证明它们相互对合：

$$\{F_i,F_j\}=0,\quad i,j=1,2,3.$$

解： (a) Hamiltonian $H$ 中显式不出现的循环坐标是 $\phi,\psi$，对应的守恒量为 $p_\phi,p_\psi$，现在用 Poisson 括号验证它们是运动常数，这里标号 $\phi,\psi,\theta$ 分别为 $1,2,3$，则

分析力学习题 9

Thu, 28 May 2026 00:00:00 +0000

问题 1：两粒子系统与质心运动

考虑一维空间中质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$ 的两个粒子，它们通过仅依赖于相对距离的势能相互作用：

$$H(q_1, q_2, p_1, p_2) = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + V(q_1 - q_2),$$

(a) 通过计算 $\{G,H\}$，证明总动量

$$G=p_1 + p_2$$

是一个守恒量。

(b) 质心坐标定义为

$$Q_{\mathrm{cm}}=\dfrac {m_1 q_1 + m_2 q_2}{m_1 + m_2}.$$

证明量

$$G'=(m_1+m_2)Q_{\mathrm{cm}}-(p_1 + p_2)t$$

也是守恒的。

解： (a) $H$ 作为 Hamiltonian，满足

$$\dfrac {\partial H}{\partial p_1} = \dfrac{p_1}{m_1}, \quad \dfrac{\partial H}{\partial p_2} = \dfrac{p_2}{m_2},\quad \dfrac{\partial H}{\partial q_1} = V'(q_1 - q_2), \quad \dfrac{\partial H}{\partial q_2} = -V'(q_1 - q_2).$$

所以

分析力学习题 8

Sat, 16 May 2026 00:00:00 +0000

问题 1：周期 Toda 链（$A_1$ 型）

$A_1$ 型周期 Toda 链（最简单的秩一情形）描述两个在圆周上运动、通过指数型最近邻势相互作用的粒子。设 $q_1,q_2$ 为它们的坐标，$p_1,p_2$ 为对应的共轭动量。Hamilton 量为

$$H(q_1,q_2,p_1,p_2) =\frac {p_1^2} {2} + \frac {p_2^2} {2} + e^{q_2 - q_1} + e^{q_1 - q_2}.$$

(a) 写出 Hamilton 的正则方程

$$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}.$$

(b) 证明总动量 $P = p_1 + p_2$ 守恒。

$$Q = \frac{q_1 + q_2}{2}, \quad q = q_1 - q_2,\quad P = p_1 + p_2, \quad p = \frac{p_1 - p_2}{2}.$$

用这些新变量写出 Hamilton 量，并求出运动方程。