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Mon, 01 Jun 2026 00:00:00 +0000

传递、混合、压缩、扩张

设 $f:S\to S,\ g:T\to T$ 是连续映射，如果有同胚 $h:S\to T$ 使得 $h\circ f=g\circ h$，则称 $f,g$ 拓扑共轭，$h$ 是共轭映射；如果除去 $h$ 的同胚条件，只保留满射，则称 $g$ 是 $f$ 的因子，$h$ 是半共轭映射。

稠密与周期

考虑 $S^1\cong \mathbb R/\mathbb Z$ 上的旋转映射（这等价于）

$$x\mapsto x+\alpha\mod 1.$$

根据有理性分类轨道：

$$\# \mathcal O(x)=\begin{cases}\infty, & \alpha\in \mathbb R\setminus \mathbb Q,\\[6pt]<\infty, & \alpha\in \mathbb Q.\end{cases},\quad \forall x\in S^1.$$

特别地，由 Weyl 定理，$\overline {\mathcal O(x)}=S^1$ 当且仅当 $\alpha\in \mathbb R\setminus \mathbb Q$.

设 $f\in C(X)$，如果存在 $x\in X$ 使得双向轨道 $\mathcal O(x)=\{f^n(x)\}_{n\in\mathbb Z}$ 在 $X$ 中稠密，则称 $f$ 是拓扑传递的；如果对于任意 $x\in X$，都有 $\overline {\mathcal O(x)}=X$，则称 $f$ 是拓扑极小的。其中 $f$ 不一定是同胚，因此 $f^{-n}$ 表示取 $n$ 次原像。

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