Homework

参考资料：《数学物理方程讲义》，姜礼尚。 pp212.15 设 $u\in C^3_0(\Omega)$ 且满足 $$-\Delta u=f(x),\quad x\in\Omega,$$ 证明 $$\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u^2_{x_ix_j}\mathrm dx\leq n\int_\Omega f^2\mathrm dx.$$解： 考虑到其紧支性，作分部积分，再由光滑性交换偏导次序 $$\begin{darray}{ll}\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u^2_{x_ix_j}\mathrm dx&=\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u_{x_ix_j}u_{x_ix_j}\mathrm dx\\[14pt]&=-\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u_{x_ix_jx_j}u_{x_i}\mathrm dx\\[14pt]&=\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u_{x_ix_i}u_{x_jx_j}\mathrm dx\\[14pt]&=\int_\Omega \Delta^2 u\mathrm dx\\[14pt]&=\int_\Omega f^2\mathrm dx.\end{darray}$$这应更严格。 pp212.16 设 $\Omega=\{(x,y):0...

参考资料：《数学物理方程讲义》，姜礼尚。 pp 212.1 设 $u(x)$ 是定解问题 $$\begin{cases}-\Delta u+c(x)u=f(x),&x\in \Omega,\\[6pt] u|_{\partial \Omega}=0,\end{cases}$$ 的一个解 (1) 如果 $c(x)\geq C_0>0$，则有估计 $$\max_{\overline \Omega} |u(x)|\leq C_0^{-1}\sup_{\Omega} |f(x)|.$$ (2) 如果 $c(x)\geq 0$ 且有界，则 $$\max_{\overline \Omega} |u(x)|\leq M\sup_{\Omega} |f(x)|,$$ 其中 $M$ 依赖于 $c(x)$ 的界与 $\Omega$ 的直径； (3) 如果 $c(x)<0$，试举反例说明上述最大模估计一般不成立。 解： (1) pp 212.2 设 $u(x)$ 是定解问题 $$\begin{cases}-\Delta u+c(x)u=f(x),&x\in \Omega,\\[6pt] u|_{\partial \Omega}=0,\end{cases}$$pp 212.3 pp 212.4 pp 212.5 设 $\Omega_0$ 是三维有界区域，$\Omega=\mathbb R^3\setminus \overline{\Omega_0}$，又设 $u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline \Omega)$ 是外部问题 $$\begin{dcases}-\Delta u+c(x)u=0,&x\in \Omega,\\[6pt] u|_{\partial \Omega}=\varphi,\\[6pt] \lim_{|x|\to \infty} u(x)=l.\end{dcases}$$ 的解，其中 $c(x)\geq 0$ 且在 $\overline \Omega$ 上局部有界，则有估计 ...

问题 1：对称陀螺的 Liouville 可积性 考虑一个绕固定点自由旋转的对称陀螺（无平动，仅含转动自由度）。设固定点为 $O$，陀螺关于其对称轴的转动惯量为 $I_3$，关于垂直于对称轴的两个主轴的转动惯量相等，$I_1=I_2$。用 Euler 角 $(\phi,\theta,\psi)$ 描述陀螺的取向，其中 $\phi$ 为进动角，$\theta$ 为章动角，$\psi$ 为自转角。在 Euler 角下，对称陀螺的 Hamiltonian 为 $$H(\phi,\theta,\psi,p_\phi,p_\theta,p_\psi) = \frac{p_\theta^2}{2I_1} + \frac{(p_\phi - p_\psi \cos\theta)^2}{2I_1 \sin^2\theta} + \frac{p_\psi^2}{2I_3},$$ 其中正则动量为 $$p_\phi = \dfrac {\partial L}{\partial \dot \phi},\quad p_\theta=\dfrac {\partial L}{\partial \dot \theta},\quad p_\psi=\dfrac {\partial L}{\partial \dot \psi}.$$(a) 指出 $H$ 中不出现的循环坐标，并写出相应的守恒量。验证它们确实是运动常数。 (b) 写出该系统的三个守恒量 $F_1,F_2,F_3$（其中一个为 $H$ 本身）。显式计算它们两两之间的 Poisson 括号，证明它们相互对合： $$\{F_i,F_j\}=0,\quad i,j=1,2,3.$$(c) 论证这三个守恒量是函数独立的，从而得出结论：该对称陀螺是 Liouville 可积的。 解： (a) Hamiltonian $H$ 中显式不出现的循环坐标是 $\phi,\psi$，对应的守恒量为 $p_\phi,p_\psi$，现在用 Poisson 括号验证它们是运动常数，这里标号 $\phi,\psi,\theta$ 分别为 $1,2,3$，则 ...

问题 1：两粒子系统与质心运动 考虑一维空间中质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$ 的两个粒子，它们通过仅依赖于相对距离的势能相互作用： $$H(q_1, q_2, p_1, p_2) = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + V(q_1 - q_2),$$(a) 通过计算 $\{G,H\}$，证明总动量 $$G=p_1 + p_2$$ 是一个守恒量。 (b) 质心坐标定义为 $$Q_{\mathrm{cm}}=\dfrac {m_1 q_1 + m_2 q_2}{m_1 + m_2}.$$ 证明量 $$G'=(m_1+m_2)Q_{\mathrm{cm}}-(p_1 + p_2)t$$ 也是守恒的。 (c) 解释 $G'$ 守恒的物理意义。 解： (a) $H$ 作为 Hamiltonian，满足 $$\dfrac {\partial H}{\partial p_1} = \dfrac{p_1}{m_1}, \quad \dfrac{\partial H}{\partial p_2} = \dfrac{p_2}{m_2},\quad \dfrac{\partial H}{\partial q_1} = V'(q_1 - q_2), \quad \dfrac{\partial H}{\partial q_2} = -V'(q_1 - q_2).$$ 所以 ...

Problems in Mathematical Analysis 作为注记 71- Abel & Dirichlet Tests Abel 求和 Dirichlet 判别法（级数版本） Abel 判别法（级数版本） （函数列版本） （含参积分版本） 76- pp.76.ex (1) 考虑 $(-1)^n$ 求和有界，$\frac 1n\cdot \left(1+\frac 1n\right)^n$ 单调趋于 $0$； (2) 考虑 $(-1)^n$ 求和有界，$\frac 1n\cdot \cos \frac 1n$ 单调趋于 $0$（考察连续函数的单调性）。 pp.77.ex.1 $T^r$ 是压缩映射，所以存在一个不动点 $x^*$，接下来说明这是 $T$ 的不动点。因为 $$x^*,Tx^*,T^2x^*,\cdots,T^{r-1}x^*$$ 是 $T$ 作用在 $x^*$ 上的所有像，也都是 $T^r$ 的不动点，所以这个 $r$ 个点都相等，即 $x^*=Tx^*$。 pp.77.ex.2 当 $x-y>0$ 取定时，其像之间的距离受到 $e^{-x}$ 的缩放 $$d(e^{-x}, e^{-y})=e^{-x}|1-e^{x-y}|\geq e^{-x}d(x,y)$$ 所以 $x\mapsto e^{-x}$ 不是压缩映射。但是 $$d(e^{-e^{-x}}, e^{-e^{-y}})=e^{-e^{-\xi}}e^{-\xi}d(x,y)\leq d(x,y)\max_{t>0}\frac {t}{e^t}$$ 所以 $x\mapsto e^{-e^{-x}}$ 是压缩映射。 ...

参考资料：《数学物理方程讲义》，姜礼尚；《数学物理方程》（第三版），谷超豪。 J.pp162.5(1)(3)(5) 证明在 $\mathcal D'(\mathbb R)$ 意义下： $\varphi(x)\delta(x)=\varphi(0)\delta(x)$； $x\delta^{(m)}(x)=-m\delta^{(m-1)}(x)$； $(H(x)\rho(x))'=\delta(x)\rho(0)+H(x)\rho'(x)$ 其中 $H(x)$ 是 Heaviside 函数，$\rho,\varphi\in C^\infty(\mathbb R)$. 解： (1) 这里 $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)$，作为乘子作用在 $\delta$ 上。取任意 $\psi\in \mathcal D(\mathbb R)$，则 $$\langle \varphi(x)\delta(x),\psi\rangle =\langle \delta(x),\varphi(x)\psi\rangle =\varphi(0)\psi(0)=\langle \varphi(0)\delta(x),\psi\rangle.$$ (3) 对于任意 $\psi\in \mathcal D(\mathbb R)$，这里用到算子导数： $$\begin{darray}{ll}\langle x\delta^{(m)}(x),\psi\rangle &=\langle \delta^{(m)}(x),x\psi\rangle \\[12pt]&=(-1)^{m}\langle \delta(x),(x\psi)^{(m)}\rangle \\[12pt]&=(-1)^{m}\langle \delta(x),\psi^{(m)}x+m\psi^{(m-1)}\rangle \\[12pt]&=(-1)^{m}m\langle \delta(x),\psi^{(m-1)}\rangle \\[12pt]&=\langle -m\delta^{(m-1)}(x),\psi\rangle.\end{darray}$$ (5) 对于任意 $\psi\in \mathcal D(\mathbb R)$，同上（乘子是交换的） $$\begin{darray}{ll}\langle (H(x)\rho(x))',\psi\rangle &= \langle (\rho(x)H(x))',\psi\rangle \\[12pt]&= -\langle H(x),\rho(x)\psi'\rangle \\[12pt]&= -\int_0^\infty \rho(x)\psi'(x)\mathrm dx\\[12pt]&= -\psi(0)\rho(0)+\int_0^\infty \rho'(x)\psi(x)\mathrm dx\\[12pt]&= \langle \delta(x)\rho(0)+H(x)\rho'(x),\psi\rangle.\end{darray}$$J.pp162.6 计算 ...

参考资料：《数学分析之课程讲义》，于品。 A A1) B (1) $\dfrac 12$, (2) $\dfrac 12$, (3) $1$,

参考资料：《数学分析之课程讲义》，于品。 A A1 先证明必要性，存在极限，则 $$|f(x_1)-f(x_2)|\leq |f(x_1)-\lim_{x\to x_0}f(x)|+|\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_2)|$$ 再证明充分性，反证，假设不存在极限，则存在 $\varepsilon>0$ 和两个数列 $x_n,y_n$ 都趋于 $x_0$，使得 $|f(x_n)-f(y_n)|\geq \varepsilon$，矛盾。 A2 构造函数列 $\chi_{[10n,10n+1]}* \rho$，其中 $\rho$ 是 Friedrich 磨光核。这是 $\mathbb R$-线性无关集。 A3 对任意 $x_n\to x_0$，有 $f(x_n)\to f(x_0)$，从而 $g\circ f(x_n)\to g\circ f(x_0)$，所以 $g\circ f$ 在 $x_0$ 处连续。 A4 对任意 $x_n\xrightarrow{d_X}x_0$，有正实数 $c_1,c_2$ 使得 $$c_1d_X(x_n,x_0)\leq d'_X(x_n,x_0)\leq c_2d_X(x_n,x_0)$$ 所以极限性质是等价的。 A5 在 $\mathbb R^n$ 上的 $L^p$ 范数等价。 A6 考虑 $$\|[f\pm g](x)-[f\pm g](x_0)\|\leq \|f(x)-f(x_0)\|+\|g(x)-g(x_0)\|$$ 从而证明第一个命题。考虑 $$\|[f\cdot g](x)-[f\cdot g](x_0)\|\leq \|f\|\|g(x)-g(x_0)\|\leq \|f\|\|g\|\|x-x_0\|$$ 从而证明第二个命题。考虑 ...

参考资料：《数学分析之课程讲义》，于品。 A B C D (1) 当 $n=m$ 时，结果为 $a_0/b_0$；当 $m>n$ 时，结果为 $0$；当 $m...

参考资料：《数学分析之课程讲义》，于品。 A A1 考虑当 $x>y$ 时 $$|e^x-e^y|=e^y|e^{x-y}-1|\geq e^y(x-y)$$ 所以在 $\mathbb R$ 上不是一致连续的。而对于足够小的 $\delta$，当 $|x-y|<\delta$ 时 $$|e^x-e^y|=e^y|e^{x-y}-1|\leq e^y\cdot 2\delta\leq 2\delta$$ 在 $(-\infty,0]$ 上是一致连续的。 B B1 有估计 $$\sqrt [3]{x+\varepsilon}-\sqrt [3]{x}=\frac {\varepsilon}{\sqrt [3]{(x+\varepsilon)^2}+\sqrt [3]{(x+\varepsilon)x}+\sqrt [3]{x^2}}\leq \varepsilon^{\frac 13}.$$ 从而一致连续。 B2 考虑 $$\log \frac 2n-\log \frac 1n=\log 2$$ 但 $\frac 2n-\frac 1n\to 0$，所以不一致连续。 B3 考虑 $$\cos \frac 1{\frac {1}{2n\pi +\frac \pi 2}}-\cos \frac 1{\frac {1}{2n\pi}}=-1$$ 但 $\frac {1}{2n\pi +\frac \pi 2}-\frac {1}{2n\pi}\to 0$，所以不一致连续。 B4 分拆成两个区间 $(0,1]\cup [\frac 12,+\infty)$，对于 $(0,1]$，考虑补充定义 $f(0)=0$，则由 Cantor 定理，$f$ 在 $[0,1]$ 上一致连续；对于 $[\frac 12,+\infty)$，求导即可，或者 ...