Homework on Yukari's Blog

偏微分方程习题 12

Sun, 31 May 2026 00:00:00 +0000

参考资料：《数学物理方程讲义》，姜礼尚。

pp212.15

设 $u\in C^3_0(\Omega)$ 且满足

$$-\Delta u=f(x),\quad x\in\Omega,$$

证明

$$\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u^2_{x_ix_j}\mathrm dx\leq n\int_\Omega f^2\mathrm dx.$$

解：考虑到其紧支性，作分部积分，再由光滑性交换偏导次序

$$\begin{darray}{ll}\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u^2_{x_ix_j}\mathrm dx&=\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u_{x_ix_j}u_{x_ix_j}\mathrm dx\\[14pt]&=-\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u_{x_ix_jx_j}u_{x_i}\mathrm dx\\[14pt]&=\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u_{x_ix_i}u_{x_jx_j}\mathrm dx\\[14pt]&=\int_\Omega \Delta^2 u\mathrm dx\\[14pt]&=\int_\Omega f^2\mathrm dx.\end{darray}$$

这应更严格。

pp212.16

设 $\Omega=\{(x,y):0

在 $Oy$ 轴上温度的值为 $v_0$，在 $\partial \Omega$ 的其他边上温度的值为 $0$；
在 $x=a,y=b$ 上绝热，在 $x=0,y=0$ 上温度的值分别为 $0$ 和 $1$；
在 $x=a,y=b$ 上温度的值为 $0$，而 $$u|_{x=0}=A\sin \dfrac {\pi y}{b},\quad u|_{y=0}=B\sin \dfrac{\pi x}{a},$$ 其中 $A,B$ 为常数。

解：热传导方程为

$$u_t-a^2\Delta u=f(x,y,t),\quad (x,y)\in \Omega,\ t>0.$$

则稳定的温度场，在分离变量假设 $u(x,y)=X(x)Y(y)$ 下满足

偏微分方程习题 13

Sun, 31 May 2026 00:00:00 +0000

参考资料：《数学物理方程讲义》，姜礼尚。

pp 212.1

设 $u(x)$ 是定解问题

$$\begin{cases}-\Delta u+c(x)u=f(x),&x\in \Omega,\\[6pt] u|_{\partial \Omega}=0,\end{cases}$$

的一个解

(1) 如果 $c(x)\geq C_0>0$，则有估计

$$\max_{\overline \Omega} |u(x)|\leq C_0^{-1}\sup_{\Omega} |f(x)|.$$

(2) 如果 $c(x)\geq 0$ 且有界，则

$$\max_{\overline \Omega} |u(x)|\leq M\sup_{\Omega} |f(x)|,$$

其中 $M$ 依赖于 $c(x)$ 的界与 $\Omega$ 的直径；

(3) 如果 $c(x)<0$，试举反例说明上述最大模估计一般不成立。

解： (1)

pp 212.2

设 $u(x)$ 是定解问题

$$\begin{cases}-\Delta u+c(x)u=f(x),&x\in \Omega,\\[6pt] u|_{\partial \Omega}=0,\end{cases}$$

pp 212.3

pp 212.4

pp 212.5

设 $\Omega_0$ 是三维有界区域，$\Omega=\mathbb R^3\setminus \overline{\Omega_0}$，又设 $u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline \Omega)$ 是外部问题

$$\begin{dcases}-\Delta u+c(x)u=0,&x\in \Omega,\\[6pt] u|_{\partial \Omega}=\varphi,\\[6pt] \lim_{|x|\to \infty} u(x)=l.\end{dcases}$$

的解，其中 $c(x)\geq 0$ 且在 $\overline \Omega$ 上局部有界，则有估计

分析力学习题 10

Sun, 31 May 2026 00:00:00 +0000

问题 1：对称陀螺的 Liouville 可积性

考虑一个绕固定点自由旋转的对称陀螺（无平动，仅含转动自由度）。设固定点为 $O$，陀螺关于其对称轴的转动惯量为 $I_3$，关于垂直于对称轴的两个主轴的转动惯量相等，$I_1=I_2$。用 Euler 角 $(\phi,\theta,\psi)$ 描述陀螺的取向，其中 $\phi$ 为进动角，$\theta$ 为章动角，$\psi$ 为自转角。在 Euler 角下，对称陀螺的 Hamiltonian 为

$$H(\phi,\theta,\psi,p_\phi,p_\theta,p_\psi) = \frac{p_\theta^2}{2I_1} + \frac{(p_\phi - p_\psi \cos\theta)^2}{2I_1 \sin^2\theta} + \frac{p_\psi^2}{2I_3},$$

其中正则动量为

$$p_\phi = \dfrac {\partial L}{\partial \dot \phi},\quad p_\theta=\dfrac {\partial L}{\partial \dot \theta},\quad p_\psi=\dfrac {\partial L}{\partial \dot \psi}.$$

(a) 指出 $H$ 中不出现的循环坐标，并写出相应的守恒量。验证它们确实是运动常数。

(b) 写出该系统的三个守恒量 $F_1,F_2,F_3$（其中一个为 $H$ 本身）。显式计算它们两两之间的 Poisson 括号，证明它们相互对合：

$$\{F_i,F_j\}=0,\quad i,j=1,2,3.$$

解： (a) Hamiltonian $H$ 中显式不出现的循环坐标是 $\phi,\psi$，对应的守恒量为 $p_\phi,p_\psi$，现在用 Poisson 括号验证它们是运动常数，这里标号 $\phi,\psi,\theta$ 分别为 $1,2,3$，则

分析力学习题 9

Thu, 28 May 2026 00:00:00 +0000

问题 1：两粒子系统与质心运动

考虑一维空间中质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$ 的两个粒子，它们通过仅依赖于相对距离的势能相互作用：

$$H(q_1, q_2, p_1, p_2) = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + V(q_1 - q_2),$$

(a) 通过计算 $\{G,H\}$，证明总动量

$$G=p_1 + p_2$$

是一个守恒量。

(b) 质心坐标定义为

$$Q_{\mathrm{cm}}=\dfrac {m_1 q_1 + m_2 q_2}{m_1 + m_2}.$$

证明量

$$G'=(m_1+m_2)Q_{\mathrm{cm}}-(p_1 + p_2)t$$

也是守恒的。

解： (a) $H$ 作为 Hamiltonian，满足

$$\dfrac {\partial H}{\partial p_1} = \dfrac{p_1}{m_1}, \quad \dfrac{\partial H}{\partial p_2} = \dfrac{p_2}{m_2},\quad \dfrac{\partial H}{\partial q_1} = V'(q_1 - q_2), \quad \dfrac{\partial H}{\partial q_2} = -V'(q_1 - q_2).$$

所以

Sun, 17 May 2026 00:00:00 +0000

Problems in Mathematical Analysis

作为注记

71-

Abel & Dirichlet Tests

Abel 求和

Dirichlet 判别法（级数版本） Abel 判别法（级数版本）

（函数列版本）

（含参积分版本）

76-

pp.76.ex

(1) 考虑 $(-1)^n$ 求和有界，$\frac 1n\cdot \left(1+\frac 1n\right)^n$ 单调趋于 $0$；

(2) 考虑 $(-1)^n$ 求和有界，$\frac 1n\cdot \cos \frac 1n$ 单调趋于 $0$（考察连续函数的单调性）。

pp.77.ex.1

$T^r$ 是压缩映射，所以存在一个不动点 $x^*$，接下来说明这是 $T$ 的不动点。因为

$$x^*,Tx^*,T^2x^*,\cdots,T^{r-1}x^*$$

是 $T$ 作用在 $x^*$ 上的所有像，也都是 $T^r$ 的不动点，所以这个 $r$ 个点都相等，即 $x^*=Tx^*$。

pp.77.ex.2

当 $x-y>0$ 取定时，其像之间的距离受到 $e^{-x}$ 的缩放

$$d(e^{-x}, e^{-y})=e^{-x}|1-e^{x-y}|\geq e^{-x}d(x,y)$$

所以 $x\mapsto e^{-x}$ 不是压缩映射。但是

$$d(e^{-e^{-x}}, e^{-e^{-y}})=e^{-e^{-\xi}}e^{-\xi}d(x,y)\leq d(x,y)\max_{t>0}\frac {t}{e^t}$$

所以 $x\mapsto e^{-e^{-x}}$ 是压缩映射。

偏微分方程习题 11

Sun, 17 May 2026 00:00:00 +0000

参考资料：《数学物理方程讲义》，姜礼尚；《数学物理方程》（第三版），谷超豪。

J.pp162.5(1)(3)(5)

证明在 $\mathcal D'(\mathbb R)$ 意义下：

$\varphi(x)\delta(x)=\varphi(0)\delta(x)$；
$x\delta^{(m)}(x)=-m\delta^{(m-1)}(x)$；
$(H(x)\rho(x))'=\delta(x)\rho(0)+H(x)\rho'(x)$

其中 $H(x)$ 是 Heaviside 函数，$\rho,\varphi\in C^\infty(\mathbb R)$.

解： (1) 这里 $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)$，作为乘子作用在 $\delta$ 上。取任意 $\psi\in \mathcal D(\mathbb R)$，则

$$\langle \varphi(x)\delta(x),\psi\rangle =\langle \delta(x),\varphi(x)\psi\rangle =\varphi(0)\psi(0)=\langle \varphi(0)\delta(x),\psi\rangle.$$

(3) 对于任意 $\psi\in \mathcal D(\mathbb R)$，这里用到算子导数：

$$\begin{darray}{ll}\langle x\delta^{(m)}(x),\psi\rangle &=\langle \delta^{(m)}(x),x\psi\rangle \\[12pt]&=(-1)^{m}\langle \delta(x),(x\psi)^{(m)}\rangle \\[12pt]&=(-1)^{m}\langle \delta(x),\psi^{(m)}x+m\psi^{(m-1)}\rangle \\[12pt]&=(-1)^{m}m\langle \delta(x),\psi^{(m-1)}\rangle \\[12pt]&=\langle -m\delta^{(m-1)}(x),\psi\rangle.\end{darray}$$

(5) 对于任意 $\psi\in \mathcal D(\mathbb R)$，同上（乘子是交换的）

$$\begin{darray}{ll}\langle (H(x)\rho(x))',\psi\rangle &= \langle (\rho(x)H(x))',\psi\rangle \\[12pt]&= -\langle H(x),\rho(x)\psi'\rangle \\[12pt]&= -\int_0^\infty \rho(x)\psi'(x)\mathrm dx\\[12pt]&= -\psi(0)\rho(0)+\int_0^\infty \rho'(x)\psi(x)\mathrm dx\\[12pt]&= \langle \delta(x)\rho(0)+H(x)\rho'(x),\psi\rangle.\end{darray}$$

J.pp162.6

计算

Homework 1

Sat, 16 May 2026 00:00:00 +0000

参考资料：《数学分析之课程讲义》，于品。

A

A1)

B

(1) $\dfrac 12$,

(2) $\dfrac 12$,

(3) $1$,

Homework 3

Sat, 16 May 2026 00:00:00 +0000

参考资料：《数学分析之课程讲义》，于品。

A

A1

先证明必要性，存在极限，则

$$|f(x_1)-f(x_2)|\leq |f(x_1)-\lim_{x\to x_0}f(x)|+|\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_2)|$$

再证明充分性，反证，假设不存在极限，则存在 $\varepsilon>0$ 和两个数列 $x_n,y_n$ 都趋于 $x_0$，使得 $|f(x_n)-f(y_n)|\geq \varepsilon$，矛盾。

A2

构造函数列 $\chi_{[10n,10n+1]}* \rho$，其中 $\rho$ 是 Friedrich 磨光核。这是 $\mathbb R$-线性无关集。

A3

对任意 $x_n\to x_0$，有 $f(x_n)\to f(x_0)$，从而 $g\circ f(x_n)\to g\circ f(x_0)$，所以 $g\circ f$ 在 $x_0$ 处连续。

A4

对任意 $x_n\xrightarrow{d_X}x_0$，有正实数 $c_1,c_2$ 使得

$$c_1d_X(x_n,x_0)\leq d'_X(x_n,x_0)\leq c_2d_X(x_n,x_0)$$

所以极限性质是等价的。

A5

在 $\mathbb R^n$ 上的 $L^p$ 范数等价。

A6

考虑

$$\|[f\pm g](x)-[f\pm g](x_0)\|\leq \|f(x)-f(x_0)\|+\|g(x)-g(x_0)\|$$

从而证明第一个命题。考虑

$$\|[f\cdot g](x)-[f\cdot g](x_0)\|\leq \|f\|\|g(x)-g(x_0)\|\leq \|f\|\|g\|\|x-x_0\|$$

从而证明第二个命题。考虑

Homework 3

Sat, 16 May 2026 00:00:00 +0000

参考资料：《数学分析之课程讲义》，于品。

A

B

C

D

(1) 当 $n=m$ 时，结果为 $a_0/b_0$；当 $m>n$ 时，结果为 $0$；当 $m

(2) $0$.

(3) $0$.

(4) $0$.

(5) $e^3$.

(6) $0$.

(7) $0$.

(8) $6$.

(9) $\dfrac {n(n+1)}{2}$.

(10) $\dfrac {49}{24}$.

(11) $\dfrac {m-n}2$.

(12) $a$.

(13) $\dfrac ab$.

(14) $1$.

(15) $\sqrt {ab}$.

(16) $\dfrac {\sum_{i=1}^k a_i}k$.

(17) $2n$.

(18) $1$.

(19) $e$.

(20) 当 $\alpha =\frac 12$ 时，结果为 $1$；当 $\alpha<\frac 12$ 时，结果为 $+\infty$；当 $\alpha>\frac 12$ 时，结果为 $0$.

Homework 3

Sat, 16 May 2026 00:00:00 +0000

参考资料：《数学分析之课程讲义》，于品。

A

A1

考虑当 $x>y$ 时

$$|e^x-e^y|=e^y|e^{x-y}-1|\geq e^y(x-y)$$

所以在 $\mathbb R$ 上不是一致连续的。而对于足够小的 $\delta$，当 $|x-y|<\delta$ 时

$$|e^x-e^y|=e^y|e^{x-y}-1|\leq e^y\cdot 2\delta\leq 2\delta$$

在 $(-\infty,0]$ 上是一致连续的。

B

B1

有估计

$$\sqrt [3]{x+\varepsilon}-\sqrt [3]{x}=\frac {\varepsilon}{\sqrt [3]{(x+\varepsilon)^2}+\sqrt [3]{(x+\varepsilon)x}+\sqrt [3]{x^2}}\leq \varepsilon^{\frac 13}.$$

从而一致连续。

B2

考虑

$$\log \frac 2n-\log \frac 1n=\log 2$$

但 $\frac 2n-\frac 1n\to 0$，所以不一致连续。

B3

考虑

$$\cos \frac 1{\frac {1}{2n\pi +\frac \pi 2}}-\cos \frac 1{\frac {1}{2n\pi}}=-1$$

但 $\frac {1}{2n\pi +\frac \pi 2}-\frac {1}{2n\pi}\to 0$，所以不一致连续。

B4

分拆成两个区间 $(0,1]\cup [\frac 12,+\infty)$，对于 $(0,1]$，考虑补充定义 $f(0)=0$，则由 Cantor 定理，$f$ 在 $[0,1]$ 上一致连续；对于 $[\frac 12,+\infty)$，求导即可，或者

偏微分方程习题 10

Sat, 16 May 2026 00:00:00 +0000

参考资料：《数学物理方程讲义》，姜礼尚。

pp160.4

应用 Fourier 变换求解以下定解问题：

$\begin{cases}u_t-a^2u_{xx}-bu_x-cu=f(x,t),&x\in\mathbb R,t>0,\\[14pt] u(x,0)=\varphi(x),&x\in\mathbb R.\end{cases}$

其中 $a,b,c$ 是常数；

$\begin{cases}u_{xx}+u_{yy}=0,&x\in\mathbb R,y>0,\\[14pt] u(x,0)=\varphi(x),&x\in\mathbb R.\end{cases}$

设 $\varphi(x)$ 连续有界，求问题的有界解。

解：求解是在速降空间 $S(\mathbb R)$ 中进行的。

(1) 应用 Fourier 变换，得到

$$\begin{darray}{ll}F[f](\xi)&=F[u_t](\xi)-a^2F[u_{xx}](\xi)-bF[u_x](\xi)-cF[u](\xi)\\[14pt] &=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}F[u](\xi)+a^2\xi^2F[u](\xi)-ib\xi F[u](\xi)-cF[u](\xi)\\[14pt] &=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}F[u](\xi)+\bigl(a^2\xi^2-ib\xi-c\bigr)F[u](\xi).\end{darray}$$

将 $F[u](\xi)$ 看作 $t$ 的函数（$\xi$ 为参数）$F[u](\xi)=F[u](\xi,t)$，得到一个常系数线性微分方程，解为（Duhamel 原理）

$$F[u](\xi)=e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)t}\left(F[\varphi](\xi)+\int^t_0e^{(a^2\xi^2-ib\xi-c)\tau}F[f](\xi,\tau)\mathrm d\tau\right).$$

再应用 Fourier 反演，得到

$$u(x,t)=F^{-1}[e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)t}F[\varphi](\xi)](x)+F^{-1}\left[\int^t_0e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)(t-\tau)}F[f](\xi,\tau)\mathrm d\tau\right](x).$$

首先求解热核

$$F^{-1}[e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)t}](x)=\frac 1{\sqrt {2\pi}}\int^\infty_{-\infty}e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)t}e^{ix\xi}\mathrm d\xi=\frac {e^{-\frac {(x+bt)^2}{4a^2t}+ct}}{a\sqrt {2t}}:=G(x,t).$$

由卷积公式

$$F^{-1}[\hat G\cdot \hat \varphi](x)=G*\varphi(x)=\int^\infty_{-\infty}G(x-y,t)\varphi(y)\mathrm dy=\int^\infty_{-\infty}\frac {e^{ct}}{a\sqrt {2t}}e^{-\frac {(x-y+bt)^2}{4a^2t}}\varphi(y)\mathrm dy.$$

由于反演公式的线性性，第二项与 $t$ 的积分可以交换，得到

分析力学习题 8

Sat, 16 May 2026 00:00:00 +0000

问题 1：周期 Toda 链（$A_1$ 型）

$A_1$ 型周期 Toda 链（最简单的秩一情形）描述两个在圆周上运动、通过指数型最近邻势相互作用的粒子。设 $q_1,q_2$ 为它们的坐标，$p_1,p_2$ 为对应的共轭动量。Hamilton 量为

$$H(q_1,q_2,p_1,p_2) =\frac {p_1^2} {2} + \frac {p_2^2} {2} + e^{q_2 - q_1} + e^{q_1 - q_2}.$$

(a) 写出 Hamilton 的正则方程

$$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}.$$

(b) 证明总动量 $P = p_1 + p_2$ 守恒。

$$Q = \frac{q_1 + q_2}{2}, \quad q = q_1 - q_2,\quad P = p_1 + p_2, \quad p = \frac{p_1 - p_2}{2}.$$

用这些新变量写出 Hamilton 量，并求出运动方程。

数列极限

Sat, 16 May 2026 00:00:00 +0000

参考资料：《数学分析习题课讲义》（第 2 版），谢惠民。

Homework on Yukari's Blog

偏微分方程 习题 12

pp212.15

pp212.16

偏微分方程 习题 13

pp 212.1

pp 212.2

pp 212.3

pp 212.4

pp 212.5

分析力学 习题 10

问题 1：对称陀螺的 Liouville 可积性

分析力学 习题 9

问题 1：两粒子系统与质心运动

Pin

Abel & Dirichlet Tests

pp.76.ex

pp.77.ex.1

pp.77.ex.2

偏微分方程 习题 11

J.pp162.5(1)(3)(5)

J.pp162.6

Homework 1

A

A1)

B

Homework 3

A

A1

A2

A3

A4

A5

A6

Homework 3

A

B

C

D

Homework 3

A

A1

B

B1

B2

B3

B4

偏微分方程 习题 10

pp160.4

分析力学 习题 8

问题 1：周期 Toda 链（$A_1$ 型）

数列极限

偏微分方程习题 12

偏微分方程习题 13

分析力学习题 10

分析力学习题 9

偏微分方程习题 11

偏微分方程习题 10

分析力学习题 8