Mathematical Analysis

Problems in Mathematical Analysis 作为注记 71- Abel & Dirichlet Tests Abel 求和 Dirichlet 判别法（级数版本） Abel 判别法（级数版本） （函数列版本） （含参积分版本） 76- pp.76.ex (1) 考虑 $(-1)^n$ 求和有界，$\frac 1n\cdot \left(1+\frac 1n\right)^n$ 单调趋于 $0$； (2) 考虑 $(-1)^n$ 求和有界，$\frac 1n\cdot \cos \frac 1n$ 单调趋于 $0$（考察连续函数的单调性）。 pp.77.ex.1 $T^r$ 是压缩映射，所以存在一个不动点 $x^*$，接下来说明这是 $T$ 的不动点。因为 $$x^*,Tx^*,T^2x^*,\cdots,T^{r-1}x^*$$ 是 $T$ 作用在 $x^*$ 上的所有像，也都是 $T^r$ 的不动点，所以这个 $r$ 个点都相等，即 $x^*=Tx^*$。 pp.77.ex.2 当 $x-y>0$ 取定时，其像之间的距离受到 $e^{-x}$ 的缩放 $$d(e^{-x}, e^{-y})=e^{-x}|1-e^{x-y}|\geq e^{-x}d(x,y)$$ 所以 $x\mapsto e^{-x}$ 不是压缩映射。但是 $$d(e^{-e^{-x}}, e^{-e^{-y}})=e^{-e^{-\xi}}e^{-\xi}d(x,y)\leq d(x,y)\max_{t>0}\frac {t}{e^t}$$ 所以 $x\mapsto e^{-e^{-x}}$ 是压缩映射。 ...

参考资料：《数学分析之课程讲义》，于品。 A A1) B (1) $\dfrac 12$, (2) $\dfrac 12$, (3) $1$,

参考资料：《数学分析之课程讲义》，于品。 A A1 先证明必要性，存在极限，则 $$|f(x_1)-f(x_2)|\leq |f(x_1)-\lim_{x\to x_0}f(x)|+|\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_2)|$$ 再证明充分性，反证，假设不存在极限，则存在 $\varepsilon>0$ 和两个数列 $x_n,y_n$ 都趋于 $x_0$，使得 $|f(x_n)-f(y_n)|\geq \varepsilon$，矛盾。 A2 构造函数列 $\chi_{[10n,10n+1]}* \rho$，其中 $\rho$ 是 Friedrich 磨光核。这是 $\mathbb R$-线性无关集。 A3 对任意 $x_n\to x_0$，有 $f(x_n)\to f(x_0)$，从而 $g\circ f(x_n)\to g\circ f(x_0)$，所以 $g\circ f$ 在 $x_0$ 处连续。 A4 对任意 $x_n\xrightarrow{d_X}x_0$，有正实数 $c_1,c_2$ 使得 $$c_1d_X(x_n,x_0)\leq d'_X(x_n,x_0)\leq c_2d_X(x_n,x_0)$$ 所以极限性质是等价的。 A5 在 $\mathbb R^n$ 上的 $L^p$ 范数等价。 A6 考虑 $$\|[f\pm g](x)-[f\pm g](x_0)\|\leq \|f(x)-f(x_0)\|+\|g(x)-g(x_0)\|$$ 从而证明第一个命题。考虑 $$\|[f\cdot g](x)-[f\cdot g](x_0)\|\leq \|f\|\|g(x)-g(x_0)\|\leq \|f\|\|g\|\|x-x_0\|$$ 从而证明第二个命题。考虑 ...

参考资料：《数学分析之课程讲义》，于品。 A B C D (1) 当 $n=m$ 时，结果为 $a_0/b_0$；当 $m>n$ 时，结果为 $0$；当 $m...

参考资料：《数学分析之课程讲义》，于品。 A A1 考虑当 $x>y$ 时 $$|e^x-e^y|=e^y|e^{x-y}-1|\geq e^y(x-y)$$ 所以在 $\mathbb R$ 上不是一致连续的。而对于足够小的 $\delta$，当 $|x-y|<\delta$ 时 $$|e^x-e^y|=e^y|e^{x-y}-1|\leq e^y\cdot 2\delta\leq 2\delta$$ 在 $(-\infty,0]$ 上是一致连续的。 B B1 有估计 $$\sqrt [3]{x+\varepsilon}-\sqrt [3]{x}=\frac {\varepsilon}{\sqrt [3]{(x+\varepsilon)^2}+\sqrt [3]{(x+\varepsilon)x}+\sqrt [3]{x^2}}\leq \varepsilon^{\frac 13}.$$ 从而一致连续。 B2 考虑 $$\log \frac 2n-\log \frac 1n=\log 2$$ 但 $\frac 2n-\frac 1n\to 0$，所以不一致连续。 B3 考虑 $$\cos \frac 1{\frac {1}{2n\pi +\frac \pi 2}}-\cos \frac 1{\frac {1}{2n\pi}}=-1$$ 但 $\frac {1}{2n\pi +\frac \pi 2}-\frac {1}{2n\pi}\to 0$，所以不一致连续。 B4 分拆成两个区间 $(0,1]\cup [\frac 12,+\infty)$，对于 $(0,1]$，考虑补充定义 $f(0)=0$，则由 Cantor 定理，$f$ 在 $[0,1]$ 上一致连续；对于 $[\frac 12,+\infty)$，求导即可，或者 ...

参考资料：《数学分析习题课讲义》（第 2 版），谢惠民。