Mathematical Analysis on Yukari's Blog

Sun, 17 May 2026 00:00:00 +0000

Problems in Mathematical Analysis

作为注记

71-

Abel & Dirichlet Tests

Abel 求和

Dirichlet 判别法（级数版本） Abel 判别法（级数版本）

（函数列版本）

（含参积分版本）

76-

pp.76.ex

(1) 考虑 $(-1)^n$ 求和有界，$\frac 1n\cdot \left(1+\frac 1n\right)^n$ 单调趋于 $0$；

(2) 考虑 $(-1)^n$ 求和有界，$\frac 1n\cdot \cos \frac 1n$ 单调趋于 $0$（考察连续函数的单调性）。

pp.77.ex.1

$T^r$ 是压缩映射，所以存在一个不动点 $x^*$，接下来说明这是 $T$ 的不动点。因为

$$x^*,Tx^*,T^2x^*,\cdots,T^{r-1}x^*$$

是 $T$ 作用在 $x^*$ 上的所有像，也都是 $T^r$ 的不动点，所以这个 $r$ 个点都相等，即 $x^*=Tx^*$。

pp.77.ex.2

当 $x-y>0$ 取定时，其像之间的距离受到 $e^{-x}$ 的缩放

$$d(e^{-x}, e^{-y})=e^{-x}|1-e^{x-y}|\geq e^{-x}d(x,y)$$

所以 $x\mapsto e^{-x}$ 不是压缩映射。但是

$$d(e^{-e^{-x}}, e^{-e^{-y}})=e^{-e^{-\xi}}e^{-\xi}d(x,y)\leq d(x,y)\max_{t>0}\frac {t}{e^t}$$

所以 $x\mapsto e^{-e^{-x}}$ 是压缩映射。

Homework 1

Sat, 16 May 2026 00:00:00 +0000

参考资料：《数学分析之课程讲义》，于品。

A

A1)

B

(1) $\dfrac 12$,

(2) $\dfrac 12$,

(3) $1$,

Homework 3

Sat, 16 May 2026 00:00:00 +0000

参考资料：《数学分析之课程讲义》，于品。

A

A1

先证明必要性，存在极限，则

$$|f(x_1)-f(x_2)|\leq |f(x_1)-\lim_{x\to x_0}f(x)|+|\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_2)|$$

再证明充分性，反证，假设不存在极限，则存在 $\varepsilon>0$ 和两个数列 $x_n,y_n$ 都趋于 $x_0$，使得 $|f(x_n)-f(y_n)|\geq \varepsilon$，矛盾。

A2

构造函数列 $\chi_{[10n,10n+1]}* \rho$，其中 $\rho$ 是 Friedrich 磨光核。这是 $\mathbb R$-线性无关集。

A3

对任意 $x_n\to x_0$，有 $f(x_n)\to f(x_0)$，从而 $g\circ f(x_n)\to g\circ f(x_0)$，所以 $g\circ f$ 在 $x_0$ 处连续。

A4

对任意 $x_n\xrightarrow{d_X}x_0$，有正实数 $c_1,c_2$ 使得

$$c_1d_X(x_n,x_0)\leq d'_X(x_n,x_0)\leq c_2d_X(x_n,x_0)$$

所以极限性质是等价的。

A5

在 $\mathbb R^n$ 上的 $L^p$ 范数等价。

A6

考虑

$$\|[f\pm g](x)-[f\pm g](x_0)\|\leq \|f(x)-f(x_0)\|+\|g(x)-g(x_0)\|$$

从而证明第一个命题。考虑

$$\|[f\cdot g](x)-[f\cdot g](x_0)\|\leq \|f\|\|g(x)-g(x_0)\|\leq \|f\|\|g\|\|x-x_0\|$$

从而证明第二个命题。考虑

Homework 3

Sat, 16 May 2026 00:00:00 +0000

参考资料：《数学分析之课程讲义》，于品。

A

B

C

D

(1) 当 $n=m$ 时，结果为 $a_0/b_0$；当 $m>n$ 时，结果为 $0$；当 $m

(2) $0$.

(3) $0$.

(4) $0$.

(5) $e^3$.

(6) $0$.

(7) $0$.

(8) $6$.

(9) $\dfrac {n(n+1)}{2}$.

(10) $\dfrac {49}{24}$.

(11) $\dfrac {m-n}2$.

(12) $a$.

(13) $\dfrac ab$.

(14) $1$.

(15) $\sqrt {ab}$.

(16) $\dfrac {\sum_{i=1}^k a_i}k$.

(17) $2n$.

(18) $1$.

(19) $e$.

(20) 当 $\alpha =\frac 12$ 时，结果为 $1$；当 $\alpha<\frac 12$ 时，结果为 $+\infty$；当 $\alpha>\frac 12$ 时，结果为 $0$.

Homework 3

Sat, 16 May 2026 00:00:00 +0000

参考资料：《数学分析之课程讲义》，于品。

A

A1

考虑当 $x>y$ 时

$$|e^x-e^y|=e^y|e^{x-y}-1|\geq e^y(x-y)$$

所以在 $\mathbb R$ 上不是一致连续的。而对于足够小的 $\delta$，当 $|x-y|<\delta$ 时

$$|e^x-e^y|=e^y|e^{x-y}-1|\leq e^y\cdot 2\delta\leq 2\delta$$

在 $(-\infty,0]$ 上是一致连续的。

B

B1

有估计

$$\sqrt [3]{x+\varepsilon}-\sqrt [3]{x}=\frac {\varepsilon}{\sqrt [3]{(x+\varepsilon)^2}+\sqrt [3]{(x+\varepsilon)x}+\sqrt [3]{x^2}}\leq \varepsilon^{\frac 13}.$$

从而一致连续。

B2

考虑

$$\log \frac 2n-\log \frac 1n=\log 2$$

但 $\frac 2n-\frac 1n\to 0$，所以不一致连续。

B3

考虑

$$\cos \frac 1{\frac {1}{2n\pi +\frac \pi 2}}-\cos \frac 1{\frac {1}{2n\pi}}=-1$$

但 $\frac {1}{2n\pi +\frac \pi 2}-\frac {1}{2n\pi}\to 0$，所以不一致连续。

B4

分拆成两个区间 $(0,1]\cup [\frac 12,+\infty)$，对于 $(0,1]$，考虑补充定义 $f(0)=0$，则由 Cantor 定理，$f$ 在 $[0,1]$ 上一致连续；对于 $[\frac 12,+\infty)$，求导即可，或者

数列极限

Sat, 16 May 2026 00:00:00 +0000

参考资料：《数学分析习题课讲义》（第 2 版），谢惠民。

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Abel & Dirichlet Tests

pp.76.ex

pp.77.ex.1

pp.77.ex.2

Homework 1

A

A1)

B

Homework 3

A

A1

A2

A3

A4

A5

A6

Homework 3

A

B

C

D

Homework 3

A

A1

B

B1

B2

B3

B4

数列极限