Partial Differential Equations

极值原理 弱极值原理 强极值原理 调和函数 设 $\Omega \subseteq \mathbb R^d$ 是开区域，如果 $u\in C^2(\Omega)$ 满足 $\Delta u=0$，则称 $u$ 是 $\Omega$ 上的调和函数，记作 $u\in \mathcal H(\Omega)$。调和函数是 Laplace 方程的解，继承其性质。 球面平均性 球面平均性：如果 $u\in \mathcal H(\Omega)$，则对任意 $r\in (0,R]$ 和 $x\in \Omega$ 满足 $B_R(x)\subseteq \Omega$，有 $$u(x)=\frac 1{|\partial B_r(0)|}\int_{\partial B_r(x)} u(y)\mathrm dS=\dfrac 1{|B_r(0)|}\int_{B_r(x)} u(y)\mathrm dy=: h(x;r).$$ 反过来，如果 $u\in C^2(\Omega)$ 在 $x\in \Omega$ 满足上述球面平均性，则 $\Delta u(x)=0$. 从连续性出发 $$u(x)=\lim_{r\to 0}\frac 1{|\partial B_r(0)|}\int_{\partial B_r(x)} u(y)\mathrm dS=\lim_{r\to 0}\dfrac 1{|\partial B_1(0)|}\int_{\partial B_1(0)} u(x+ry)\mathrm dS=:\lim_{r\to 0} h(x;r).$$ 考虑含参积分 ...

参考资料：《数学物理方程讲义》，姜礼尚。 pp212.15 设 $u\in C^3_0(\Omega)$ 且满足 $$-\Delta u=f(x),\quad x\in\Omega,$$ 证明 $$\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u^2_{x_ix_j}\mathrm dx\leq n\int_\Omega f^2\mathrm dx.$$解： 考虑到其紧支性，作分部积分，再由光滑性交换偏导次序 $$\begin{darray}{ll}\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u^2_{x_ix_j}\mathrm dx&=\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u_{x_ix_j}u_{x_ix_j}\mathrm dx\\[14pt]&=-\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u_{x_ix_jx_j}u_{x_i}\mathrm dx\\[14pt]&=\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u_{x_ix_i}u_{x_jx_j}\mathrm dx\\[14pt]&=\int_\Omega \Delta^2 u\mathrm dx\\[14pt]&=\int_\Omega f^2\mathrm dx.\end{darray}$$这应更严格。 pp212.16 设 $\Omega=\{(x,y):0...

参考资料：《数学物理方程讲义》，姜礼尚。 pp 212.1 设 $u(x)$ 是定解问题 $$\begin{cases}-\Delta u+c(x)u=f(x),&x\in \Omega,\\[6pt] u|_{\partial \Omega}=0,\end{cases}$$ 的一个解 (1) 如果 $c(x)\geq C_0>0$，则有估计 $$\max_{\overline \Omega} |u(x)|\leq C_0^{-1}\sup_{\Omega} |f(x)|.$$ (2) 如果 $c(x)\geq 0$ 且有界，则 $$\max_{\overline \Omega} |u(x)|\leq M\sup_{\Omega} |f(x)|,$$ 其中 $M$ 依赖于 $c(x)$ 的界与 $\Omega$ 的直径； (3) 如果 $c(x)<0$，试举反例说明上述最大模估计一般不成立。 解： (1) pp 212.2 设 $u(x)$ 是定解问题 $$\begin{cases}-\Delta u+c(x)u=f(x),&x\in \Omega,\\[6pt] u|_{\partial \Omega}=0,\end{cases}$$pp 212.3 pp 212.4 pp 212.5 设 $\Omega_0$ 是三维有界区域，$\Omega=\mathbb R^3\setminus \overline{\Omega_0}$，又设 $u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline \Omega)$ 是外部问题 $$\begin{dcases}-\Delta u+c(x)u=0,&x\in \Omega,\\[6pt] u|_{\partial \Omega}=\varphi,\\[6pt] \lim_{|x|\to \infty} u(x)=l.\end{dcases}$$ 的解，其中 $c(x)\geq 0$ 且在 $\overline \Omega$ 上局部有界，则有估计 ...

位势方程 一些基本的结果： 基本解：在 $\mathbb R^n$ 上，位势方程 $-\Delta u=f(x)$ 的基本解 $-\Delta E=\delta(x)$ 满足 $$E(x)=\begin{dcases} -\frac{1}{2\pi}\log|x|,&n=2,\\[14pt] \frac{1}{(n-2)S_{n-1}|x|^{n-2}},&n\geq 3, \end{dcases}$$ 尽管基本解 $E$ 在 $x=0$ 处有奇点，但通过球坐标变换 $$\int_{|x|<\varepsilon} E(x)\mathrm dx=\int_0^\varepsilon\int_{\Theta}E(r)J(\Theta)r^{n-1}\mathrm d\Theta\mathrm dr\to 0,\quad \varepsilon\to 0,$$ 其中 $J(\Theta)$ 是球坐标变换的 Jacobian 的角度部分。因此 $E\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^n)$；另外 $$\nabla E(x)=-\dfrac 1{S_{n-1}}\dfrac x{|x|^n},\quad \forall n\geq 2,$$ 这推出 $\nabla E\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^n)$，因为 $$\int_{|x|<\varepsilon} |\nabla E(x)|\mathrm dx=\int_0^\varepsilon\int_{\Theta}\dfrac {J(\Theta)}{S_{n-1}}\mathrm d\Theta\mathrm dr=\int_0^\varepsilon\mathrm dr=\varepsilon,$$ 如果我们进一步求二阶微分 $$|\nabla^2 E(x)|=\dfrac 1{S_{n-1}}\left|\dfrac n{|x|^n}\dfrac {xx^T}{|x|^2}-\dfrac 1{|x|^n}I\right|\sim \dfrac 1{|x|^n},$$ 这推出 $\nabla^2 E\notin L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^n)$，因为 ...

参考资料：《数学物理方程讲义》，姜礼尚；《数学物理方程》（第三版），谷超豪。 J.pp162.5(1)(3)(5) 证明在 $\mathcal D'(\mathbb R)$ 意义下： $\varphi(x)\delta(x)=\varphi(0)\delta(x)$； $x\delta^{(m)}(x)=-m\delta^{(m-1)}(x)$； $(H(x)\rho(x))'=\delta(x)\rho(0)+H(x)\rho'(x)$ 其中 $H(x)$ 是 Heaviside 函数，$\rho,\varphi\in C^\infty(\mathbb R)$. 解： (1) 这里 $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)$，作为乘子作用在 $\delta$ 上。取任意 $\psi\in \mathcal D(\mathbb R)$，则 $$\langle \varphi(x)\delta(x),\psi\rangle =\langle \delta(x),\varphi(x)\psi\rangle =\varphi(0)\psi(0)=\langle \varphi(0)\delta(x),\psi\rangle.$$ (3) 对于任意 $\psi\in \mathcal D(\mathbb R)$，这里用到算子导数： $$\begin{darray}{ll}\langle x\delta^{(m)}(x),\psi\rangle &=\langle \delta^{(m)}(x),x\psi\rangle \\[12pt]&=(-1)^{m}\langle \delta(x),(x\psi)^{(m)}\rangle \\[12pt]&=(-1)^{m}\langle \delta(x),\psi^{(m)}x+m\psi^{(m-1)}\rangle \\[12pt]&=(-1)^{m}m\langle \delta(x),\psi^{(m-1)}\rangle \\[12pt]&=\langle -m\delta^{(m-1)}(x),\psi\rangle.\end{darray}$$ (5) 对于任意 $\psi\in \mathcal D(\mathbb R)$，同上（乘子是交换的） $$\begin{darray}{ll}\langle (H(x)\rho(x))',\psi\rangle &= \langle (\rho(x)H(x))',\psi\rangle \\[12pt]&= -\langle H(x),\rho(x)\psi'\rangle \\[12pt]&= -\int_0^\infty \rho(x)\psi'(x)\mathrm dx\\[12pt]&= -\psi(0)\rho(0)+\int_0^\infty \rho'(x)\psi(x)\mathrm dx\\[12pt]&= \langle \delta(x)\rho(0)+H(x)\rho'(x),\psi\rangle.\end{darray}$$J.pp162.6 计算 ...

参考资料：《数学物理方程讲义》，姜礼尚。 pp160.4 应用 Fourier 变换求解以下定解问题： $\begin{cases}u_t-a^2u_{xx}-bu_x-cu=f(x,t),&x\in\mathbb R,t>0,\\[14pt] u(x,0)=\varphi(x),&x\in\mathbb R.\end{cases}$ 其中 $a,b,c$ 是常数； $\begin{cases}u_{xx}+u_{yy}=0,&x\in\mathbb R,y>0,\\[14pt] u(x,0)=\varphi(x),&x\in\mathbb R.\end{cases}$ 设 $\varphi(x)$ 连续有界，求问题的有界解。 解： 求解是在速降空间 $S(\mathbb R)$ 中进行的。 (1) 应用 Fourier 变换，得到 $$\begin{darray}{ll}F[f](\xi)&=F[u_t](\xi)-a^2F[u_{xx}](\xi)-bF[u_x](\xi)-cF[u](\xi)\\[14pt] &=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}F[u](\xi)+a^2\xi^2F[u](\xi)-ib\xi F[u](\xi)-cF[u](\xi)\\[14pt] &=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}F[u](\xi)+\bigl(a^2\xi^2-ib\xi-c\bigr)F[u](\xi).\end{darray}$$ 将 $F[u](\xi)$ 看作 $t$ 的函数（$\xi$ 为参数）$F[u](\xi)=F[u](\xi,t)$，得到一个常系数线性微分方程，解为（Duhamel 原理） $$F[u](\xi)=e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)t}\left(F[\varphi](\xi)+\int^t_0e^{(a^2\xi^2-ib\xi-c)\tau}F[f](\xi,\tau)\mathrm d\tau\right).$$ 再应用 Fourier 反演，得到 $$u(x,t)=F^{-1}[e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)t}F[\varphi](\xi)](x)+F^{-1}\left[\int^t_0e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)(t-\tau)}F[f](\xi,\tau)\mathrm d\tau\right](x).$$ 首先求解热核 $$F^{-1}[e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)t}](x)=\frac 1{\sqrt {2\pi}}\int^\infty_{-\infty}e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)t}e^{ix\xi}\mathrm d\xi=\frac {e^{-\frac {(x+bt)^2}{4a^2t}+ct}}{a\sqrt {2t}}:=G(x,t).$$ 由卷积公式 $$F^{-1}[\hat G\cdot \hat \varphi](x)=G*\varphi(x)=\int^\infty_{-\infty}G(x-y,t)\varphi(y)\mathrm dy=\int^\infty_{-\infty}\frac {e^{ct}}{a\sqrt {2t}}e^{-\frac {(x-y+bt)^2}{4a^2t}}\varphi(y)\mathrm dy.$$ 由于反演公式的线性性，第二项与 $t$ 的积分可以交换，得到 ...