Partial Differential Equations on Yukari's Blog

调和函数与极值原理

Mon, 01 Jun 2026 00:00:00 +0000

极值原理

弱极值原理

强极值原理

调和函数

设 $\Omega \subseteq \mathbb R^d$ 是开区域，如果 $u\in C^2(\Omega)$ 满足 $\Delta u=0$，则称 $u$ 是 $\Omega$ 上的调和函数，记作 $u\in \mathcal H(\Omega)$。调和函数是 Laplace 方程的解，继承其性质。

球面平均性

球面平均性：如果 $u\in \mathcal H(\Omega)$，则对任意 $r\in (0,R]$ 和 $x\in \Omega$ 满足 $B_R(x)\subseteq \Omega$，有
$$u(x)=\frac 1{|\partial B_r(0)|}\int_{\partial B_r(x)} u(y)\mathrm dS=\dfrac 1{|B_r(0)|}\int_{B_r(x)} u(y)\mathrm dy=: h(x;r).$$
反过来，如果 $u\in C^2(\Omega)$ 在 $x\in \Omega$ 满足上述球面平均性，则 $\Delta u(x)=0$.

从连续性出发

$$u(x)=\lim_{r\to 0}\frac 1{|\partial B_r(0)|}\int_{\partial B_r(x)} u(y)\mathrm dS=\lim_{r\to 0}\dfrac 1{|\partial B_1(0)|}\int_{\partial B_1(0)} u(x+ry)\mathrm dS=:\lim_{r\to 0} h(x;r).$$

考虑含参积分

偏微分方程习题 12

Sun, 31 May 2026 00:00:00 +0000

参考资料：《数学物理方程讲义》，姜礼尚。

pp212.15

设 $u\in C^3_0(\Omega)$ 且满足

$$-\Delta u=f(x),\quad x\in\Omega,$$

证明

$$\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u^2_{x_ix_j}\mathrm dx\leq n\int_\Omega f^2\mathrm dx.$$

解：考虑到其紧支性，作分部积分，再由光滑性交换偏导次序

$$\begin{darray}{ll}\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u^2_{x_ix_j}\mathrm dx&=\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u_{x_ix_j}u_{x_ix_j}\mathrm dx\\[14pt]&=-\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u_{x_ix_jx_j}u_{x_i}\mathrm dx\\[14pt]&=\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u_{x_ix_i}u_{x_jx_j}\mathrm dx\\[14pt]&=\int_\Omega \Delta^2 u\mathrm dx\\[14pt]&=\int_\Omega f^2\mathrm dx.\end{darray}$$

这应更严格。

pp212.16

设 $\Omega=\{(x,y):0

在 $Oy$ 轴上温度的值为 $v_0$，在 $\partial \Omega$ 的其他边上温度的值为 $0$；
在 $x=a,y=b$ 上绝热，在 $x=0,y=0$ 上温度的值分别为 $0$ 和 $1$；
在 $x=a,y=b$ 上温度的值为 $0$，而 $$u|_{x=0}=A\sin \dfrac {\pi y}{b},\quad u|_{y=0}=B\sin \dfrac{\pi x}{a},$$ 其中 $A,B$ 为常数。

解：热传导方程为

$$u_t-a^2\Delta u=f(x,y,t),\quad (x,y)\in \Omega,\ t>0.$$

则稳定的温度场，在分离变量假设 $u(x,y)=X(x)Y(y)$ 下满足

偏微分方程习题 13

Sun, 31 May 2026 00:00:00 +0000

参考资料：《数学物理方程讲义》，姜礼尚。

pp 212.1

设 $u(x)$ 是定解问题

$$\begin{cases}-\Delta u+c(x)u=f(x),&x\in \Omega,\\[6pt] u|_{\partial \Omega}=0,\end{cases}$$

的一个解

(1) 如果 $c(x)\geq C_0>0$，则有估计

$$\max_{\overline \Omega} |u(x)|\leq C_0^{-1}\sup_{\Omega} |f(x)|.$$

(2) 如果 $c(x)\geq 0$ 且有界，则

$$\max_{\overline \Omega} |u(x)|\leq M\sup_{\Omega} |f(x)|,$$

其中 $M$ 依赖于 $c(x)$ 的界与 $\Omega$ 的直径；

(3) 如果 $c(x)<0$，试举反例说明上述最大模估计一般不成立。

解： (1)

pp 212.2

设 $u(x)$ 是定解问题

$$\begin{cases}-\Delta u+c(x)u=f(x),&x\in \Omega,\\[6pt] u|_{\partial \Omega}=0,\end{cases}$$

pp 212.3

pp 212.4

pp 212.5

设 $\Omega_0$ 是三维有界区域，$\Omega=\mathbb R^3\setminus \overline{\Omega_0}$，又设 $u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline \Omega)$ 是外部问题

$$\begin{dcases}-\Delta u+c(x)u=0,&x\in \Omega,\\[6pt] u|_{\partial \Omega}=\varphi,\\[6pt] \lim_{|x|\to \infty} u(x)=l.\end{dcases}$$

的解，其中 $c(x)\geq 0$ 且在 $\overline \Omega$ 上局部有界，则有估计

位势方程与 Green 公式

Wed, 27 May 2026 00:00:00 +0000

位势方程

一些基本的结果：

基本解：在 $\mathbb R^n$ 上，位势方程 $-\Delta u=f(x)$ 的基本解 $-\Delta E=\delta(x)$ 满足
$$E(x)=\begin{dcases} -\frac{1}{2\pi}\log|x|,&n=2,\\[14pt] \frac{1}{(n-2)S_{n-1}|x|^{n-2}},&n\geq 3, \end{dcases}$$

尽管基本解 $E$ 在 $x=0$ 处有奇点，但通过球坐标变换

$$\int_{|x|<\varepsilon} E(x)\mathrm dx=\int_0^\varepsilon\int_{\Theta}E(r)J(\Theta)r^{n-1}\mathrm d\Theta\mathrm dr\to 0,\quad \varepsilon\to 0,$$

其中 $J(\Theta)$ 是球坐标变换的 Jacobian 的角度部分。因此 $E\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^n)$；另外

$$\nabla E(x)=-\dfrac 1{S_{n-1}}\dfrac x{|x|^n},\quad \forall n\geq 2,$$

这推出 $\nabla E\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^n)$，因为

$$\int_{|x|<\varepsilon} |\nabla E(x)|\mathrm dx=\int_0^\varepsilon\int_{\Theta}\dfrac {J(\Theta)}{S_{n-1}}\mathrm d\Theta\mathrm dr=\int_0^\varepsilon\mathrm dr=\varepsilon,$$

如果我们进一步求二阶微分

$$|\nabla^2 E(x)|=\dfrac 1{S_{n-1}}\left|\dfrac n{|x|^n}\dfrac {xx^T}{|x|^2}-\dfrac 1{|x|^n}I\right|\sim \dfrac 1{|x|^n},$$

这推出 $\nabla^2 E\notin L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^n)$，因为

偏微分方程习题 11

Sun, 17 May 2026 00:00:00 +0000

参考资料：《数学物理方程讲义》，姜礼尚；《数学物理方程》（第三版），谷超豪。

J.pp162.5(1)(3)(5)

证明在 $\mathcal D'(\mathbb R)$ 意义下：

$\varphi(x)\delta(x)=\varphi(0)\delta(x)$；
$x\delta^{(m)}(x)=-m\delta^{(m-1)}(x)$；
$(H(x)\rho(x))'=\delta(x)\rho(0)+H(x)\rho'(x)$

其中 $H(x)$ 是 Heaviside 函数，$\rho,\varphi\in C^\infty(\mathbb R)$.

解： (1) 这里 $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)$，作为乘子作用在 $\delta$ 上。取任意 $\psi\in \mathcal D(\mathbb R)$，则

$$\langle \varphi(x)\delta(x),\psi\rangle =\langle \delta(x),\varphi(x)\psi\rangle =\varphi(0)\psi(0)=\langle \varphi(0)\delta(x),\psi\rangle.$$

(3) 对于任意 $\psi\in \mathcal D(\mathbb R)$，这里用到算子导数：

$$\begin{darray}{ll}\langle x\delta^{(m)}(x),\psi\rangle &=\langle \delta^{(m)}(x),x\psi\rangle \\[12pt]&=(-1)^{m}\langle \delta(x),(x\psi)^{(m)}\rangle \\[12pt]&=(-1)^{m}\langle \delta(x),\psi^{(m)}x+m\psi^{(m-1)}\rangle \\[12pt]&=(-1)^{m}m\langle \delta(x),\psi^{(m-1)}\rangle \\[12pt]&=\langle -m\delta^{(m-1)}(x),\psi\rangle.\end{darray}$$

(5) 对于任意 $\psi\in \mathcal D(\mathbb R)$，同上（乘子是交换的）

$$\begin{darray}{ll}\langle (H(x)\rho(x))',\psi\rangle &= \langle (\rho(x)H(x))',\psi\rangle \\[12pt]&= -\langle H(x),\rho(x)\psi'\rangle \\[12pt]&= -\int_0^\infty \rho(x)\psi'(x)\mathrm dx\\[12pt]&= -\psi(0)\rho(0)+\int_0^\infty \rho'(x)\psi(x)\mathrm dx\\[12pt]&= \langle \delta(x)\rho(0)+H(x)\rho'(x),\psi\rangle.\end{darray}$$

J.pp162.6

计算

偏微分方程习题 10

Sat, 16 May 2026 00:00:00 +0000

参考资料：《数学物理方程讲义》，姜礼尚。

pp160.4

应用 Fourier 变换求解以下定解问题：

$\begin{cases}u_t-a^2u_{xx}-bu_x-cu=f(x,t),&x\in\mathbb R,t>0,\\[14pt] u(x,0)=\varphi(x),&x\in\mathbb R.\end{cases}$

其中 $a,b,c$ 是常数；

$\begin{cases}u_{xx}+u_{yy}=0,&x\in\mathbb R,y>0,\\[14pt] u(x,0)=\varphi(x),&x\in\mathbb R.\end{cases}$

设 $\varphi(x)$ 连续有界，求问题的有界解。

解：求解是在速降空间 $S(\mathbb R)$ 中进行的。

(1) 应用 Fourier 变换，得到

$$\begin{darray}{ll}F[f](\xi)&=F[u_t](\xi)-a^2F[u_{xx}](\xi)-bF[u_x](\xi)-cF[u](\xi)\\[14pt] &=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}F[u](\xi)+a^2\xi^2F[u](\xi)-ib\xi F[u](\xi)-cF[u](\xi)\\[14pt] &=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}F[u](\xi)+\bigl(a^2\xi^2-ib\xi-c\bigr)F[u](\xi).\end{darray}$$

将 $F[u](\xi)$ 看作 $t$ 的函数（$\xi$ 为参数）$F[u](\xi)=F[u](\xi,t)$，得到一个常系数线性微分方程，解为（Duhamel 原理）

$$F[u](\xi)=e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)t}\left(F[\varphi](\xi)+\int^t_0e^{(a^2\xi^2-ib\xi-c)\tau}F[f](\xi,\tau)\mathrm d\tau\right).$$

再应用 Fourier 反演，得到

$$u(x,t)=F^{-1}[e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)t}F[\varphi](\xi)](x)+F^{-1}\left[\int^t_0e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)(t-\tau)}F[f](\xi,\tau)\mathrm d\tau\right](x).$$

首先求解热核

$$F^{-1}[e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)t}](x)=\frac 1{\sqrt {2\pi}}\int^\infty_{-\infty}e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)t}e^{ix\xi}\mathrm d\xi=\frac {e^{-\frac {(x+bt)^2}{4a^2t}+ct}}{a\sqrt {2t}}:=G(x,t).$$

由卷积公式

$$F^{-1}[\hat G\cdot \hat \varphi](x)=G*\varphi(x)=\int^\infty_{-\infty}G(x-y,t)\varphi(y)\mathrm dy=\int^\infty_{-\infty}\frac {e^{ct}}{a\sqrt {2t}}e^{-\frac {(x-y+bt)^2}{4a^2t}}\varphi(y)\mathrm dy.$$

由于反演公式的线性性，第二项与 $t$ 的积分可以交换，得到

无界区域的热传导方程

Sat, 16 May 2026 00:00:00 +0000

Partial Differential Equations on Yukari's Blog

调和函数与极值原理

极值原理

弱极值原理

强极值原理

调和函数

球面平均性

偏微分方程 习题 12

pp212.15

pp212.16

偏微分方程 习题 13

pp 212.1

pp 212.2

pp 212.3

pp 212.4

pp 212.5

位势方程与 Green 公式

位势方程

偏微分方程 习题 11

J.pp162.5(1)(3)(5)

J.pp162.6

偏微分方程 习题 10

pp160.4

无界区域的热传导方程

偏微分方程习题 12

偏微分方程习题 13

偏微分方程习题 11

偏微分方程习题 10