拓扑学作业 11

[Arm.C5.T15] Show that the Mobius strip and the cylinder both have fundamental group $\mathbb Z$.

根据粘合空间的定义，考虑全空间 $X:=\mathbb R\times [0,1]$，那么 Mobius 带可以作为以下群作用的轨道空间，我们只写出生成元的作用：

$$g:(x,y)\mapsto (x+1,1-y)$$

生成群为 $G$。首先全空间 $X$ 是单连通的，$g$ 作用是 $X$ 上的同胚映射，且是自由的，对于任意一点 $(x,y)\in X$，都存在邻域 $B(x,y;\frac 12)$ 使得 $g^n(B)\cap B=\varnothing$ 对任意 $n\in\mathbb N\setminus\{0\}$ 成立。因此

$$\pi_1(\mathcal M)=\pi_1(X/G)\cong G\cong \mathbb Z$$

类似地，圆柱面可以作为以下群作用的轨道空间，我们只写出生成元的作用：

$$h:(x,y)\mapsto (x+1,y)$$

生成群为 $H$。同样可以分析，因此

$$\pi_1(\mathcal C)=\pi_1(X/H)\cong H\cong \mathbb Z$$

就说明了圆柱面和 Mobius 带的基本群均同构于 $\mathbb Z$。

[Arm.C10.T23] If $X$ is a connected, locally path-connected, Hausdorff space, and if a finite group $G$ of order $n$ acts freely on $X$, show that $X$ is an $n$-sheeted covering of $X/G$.

连通且局部道路连通的空间是道路连通空间。在群作用下得到商映射

$$p:X\to X/G,\quad x\mapsto Gx$$

根据粘合空间的定义，商空间 $X/G$ 上的集合 $U\subseteq X/G$ 为开集，当且仅当 $p^{-1}(U)$ 在 $X$ 中为开集。结合 $X$ 是连通空间，这就保证了商空间 $X/G$ 也是连通空间；同样可以说明 $X/G$ 也是道路连通空间，因为在 $X$ 中的道路 $\gamma$ 可以诱导在 $X/G$ 上的道路 $p\circ \gamma$。从而 $X/G$ 的层数在全局是良定义的。现在只需要考虑 $X/G$ 上任意一点的层数即可。任取一点 $[x]\in X/G$，由于 $G$ 作用是自由的，所以

$$p^{-1}([x])=\{gx:g\in G\}=\{g_1x,g_2x,\cdots,g_nx\}$$

自由保证了这 $n$ 个点两两不同。接下来取邻域：由于 $X$ 是 Hausdorff 空间，可以构造 $n$ 个互不相交的开邻域 $U_i$，使得

$$\bigsqcup_{i=1}^n U_i\subseteq X,\quad g_ix\in U_i,\quad [U]:=\bigcap_{i=1}^n p(U_i)$$

那么 $[U]$ 是 $X/G$ 上的一个开邻域，并且

$$p^{-1}([U])=\bigsqcup_{i=1}^n U_i$$

从而

$$p|_{U_i\cap p^{-1}([U])}:U_i\cap p^{-1}([U])\to [U]$$

是同胚映射。因此 $p:X\to X/G$ 是一个 $n$ 层覆叠映射。

[Hat.C2S1.T11] Show that if $A$ is a retract of $X$ then the map $H_n(A)\to H_n(X)$ induced by the inclusion $A\subseteq X$ is injective.

由于 $A$ 是 $X$ 的收缩，所以 $A\simeq X$，而同伦等价会诱导同构的同调群。具体地，考虑嵌入映射和收缩映射，都是连续映射

$$i:A\to X,\quad r:X\to A$$

则同调函子诱导出同调群之间的群同态

$$i_*:H_n(A)\to H_n(X),\quad r_*:H_n(X)\to H_n(A)$$

由于 $r\circ i=\mathrm{id}_A$，所以

$$r_*\circ i_*=(r\circ i)_*=\mathrm{id}_{H_n(A)}$$

因此 $i_*$ 是单射。

[Hat.C2S1.T13] Verify that $f\simeq g$ implies $f_* = g_*$ for induced homomorphisms of reduced homology groups.

约化同调群和同调群对应的增广链复形和链复形在 $n\geq 1$ 时是一致的，我们已经知道同伦等价映射在同调群之间诱导相同的同态，因此只需要考虑 $n=0$ 的情形。对于任意空间 $X$，增广链复形为

$$\cdots \to C_1(X)\xrightarrow{\partial_1} C_0(X)\xrightarrow{\varepsilon} \mathbb Z\to 0$$

所以只需证明

$$f_*:\widetilde H_0(X)\to \widetilde H_0(Y),\quad g_*:\widetilde H_0(X)\to \widetilde H_0(Y)$$

是相等映射。仿照之前的证明，考虑棱柱算子

$$P:C_0(X)\to C_1(Y),\quad P\left(\sum_i n_i \sigma_i\right)=\sum_i n_i F\circ (\sigma_i\times \mathrm{id})|_{[y_i,\tilde y_i]}$$

其中 $F:X\times [0,1]\to Y$ 是 $f$ 和 $g$ 之间的同伦。然后计算

$$\partial P=\sum_i n_i \left(F(\sigma_i\times \mathrm{id})|_{[ y_i]}\right)-\sum_i n_i \left(F (\sigma_i\times \mathrm{id})|_{[\tilde y_i]}\right)=\sum_i n_i (g\sigma_i - f \sigma_i) = g_* - f_*$$

所以对任意 $[c]\in \widetilde H_0(X)$，有 $c\in \ker \varepsilon$，因此

$$g_*([c]) - f_*([c]) =[g_*(c) - f_*(c)] = [\partial P(c)] =0$$

这是因为 $\partial P(c)\in \mathrm{im}\,\partial$，所以 $f_*=g_*$。

[Hat.C2S1.T30] In each of the following commutative diagrams assume that all maps but one are isomorphisms. Show that the remaining map must be an isomorphism as well.

同构映射 $f:A\to B$ 的逆映射 $f^{-1}:B\to A$ 也是同构映射。所以，不失一般性，第一个交换图本质在说同构映射的复合仍然是同构映射。后面也是显然的。