Topology Leture 5

Theorem $f:Z\to X\times Y$ 是连续的，当且仅当 $p_X\circ f:Z\to X$ 和 $p_Y\circ f:Z\to Y$ 都是连续的.

证明：

（1）必要性。因为 $p_X,p_Y,f$ 都是连续的，所以 $p_X\circ f,p_Y\circ f$ 都是连续的。

（2）充分性。取基础开集 $U\times V\subseteq X\times Y$，其中 $U\subseteq X,V\subseteq Y$ 都是开集，则

$$(p_X\circ f)^{-1}(U)\cap (p_Y\circ f)^{-1}(V)=f^{-1}(U\times V)$$

是 $Z$ 的开集，所以 $f$ 是连续的。

Theorem 设 $X,Y\neq\emptyset$. 那么 $X\times Y$ 是 Hausdorff 空间，当且仅当 $X,Y$ 都是 Hausdorff 空间。

证明：

（1）必要性。对于任意不同的两点 $x_1,x_2$，取任意 $y\in Y$，那么存在 $U_1\cap V_1,U_2\cap V_2$ 分别为 $(x_1,y),(x_2,y)$ 的邻域，使得 $(U_1\times V_1)\cap (U_2\cap V_2)=\emptyset$，那么 $U_1\cap U_2\neq \emptyset$（因为 $y\in V_1\cap V_2\neq \emptyset$），这推出 $X$ 是 Hausdorff 空间。

（2）充分性。对于任意不同的两点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in X\times Y$，我们不妨假设 $x_1\neq x_2$，由 $X$ 是 Hausdorff 空间，则存在 $U_1,U_2$ 分别为 $x_1,x_2$ 的邻域，使得 $U_1\cap U_2=\emptyset$，那么 $U_1\times Y,U_2\times Y$ 分别是 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 的邻域且 $(U_1\cup Y)\cap (U_2\cup Y)\neq \emptyset$，这推出 $X\times Y$ 是 Hausdorff 空间。

Lemma 设 $\beta$ 是拓扑空间 $X$ 的一个基底。那么 $X$ 是紧的，当且仅当对于任意开覆盖 $X=\bigcup_\alpha B_\alpha,B_\alpha\in\beta$，存在 $B_1,\cdots,B_n\in\{B_\alpha\}$，使得 $X=\bigcup ^n_{i=1}B_i$.

证明：

（1）必要性。显然，由紧的定义。

（2）充分性。设 $X=\bigcup _\alpha U_\alpha$ 是任一开覆盖，那么对于任意 $\alpha$ 都有 $U_\alpha=\bigcup _{\gamma\in I_\alpha}B_\gamma,B_\gamma\in \beta$，那么 $X=\bigcup _\alpha \bigcup _{\gamma\in I_\alpha}B_\gamma$，这就转化到了基础开集的情况，由条件知道存在 $B_1,\cdots,B_n$ 使得 $X=\bigcup^n_{i=1}B_i$，选择 $U_i$ 满足 $B_i\subseteq U_i$，就有 $X=\bigcup^n_{i=1}U_i$，推出 $X$ 是紧的。

Theorem 乘积保持紧性。即对于 $X,Y\neq\emptyset$，$X\times Y$ 是紧的，当且仅当 $X,Y$ 是紧的。

证明：

（1）因为投影映射 $p_X,p_Y$ 是连续的，所以 $p_X(X\times Y)=X,p_Y(X\times Y)=Y$ 都是紧的。

（2）设 $X\times Y=\bigcup_\alpha U_\alpha\times V_\alpha$ 是一个开覆盖，那么对于任意 $x\in X$ 都给出一个同胚

$$p_Y|_{\{x\}\times Y}:\{x\}\times Y\to Y$$

所以 $\{x\}\times Y$ 是紧的，进而存在 $U_1^x\times V^x_1,\cdots ,U^x_{n_x}\times V^x_{n_x}\in \{U_\alpha\times V_\alpha\}$ 使得 $\{x\}\times Y=\bigcup_{i=1}^{n_x}U_i^x\times V_i^x$. 令 $U^x=\bigcap ^{n_x}_{i=1}U_i^{x}$，推出 $U^x\times Y\subseteq \bigcup ^{n_x}_{i=1}U^x_i\times V_i^x$. 因为 $\bigcup _{x\in X}U^x=X$ 且 $X$ 是紧的，所以存在 $x_1,\cdots, x_n\in X$ 使得 $\bigcup ^n_{i=1}U^{x_i}=X$，推出 $\bigcup^n_{i=1}\bigcup^{n_x}_{j=1}U^{x_i}_j\times V^{x_i}_j=\bigcup^n_{i=1}U^{x_i}\times Y=X\times Y$ 是有限开覆盖。因为我们取的 $U_\alpha\times V_\alpha$ 是基础开集，所以应用引理后得证，证明了 $X\times Y$ 是紧的。

Remark 这种先固定一个点的技巧十分有用，可以深刻体会。

Remark 之所以要求非空，是因为要保证乘积空间 $X\times Y$ 非空。如果 $Y=\emptyset$，那么 $X\neq p_X(X\times Y)$.

Theorem 设 $X\subseteq \mathbb R^n$. 那么 $X$ 是紧的，当且仅当 $X$ 是有界闭集。

证明：

（1）之前已经证明。

（2）因为 $X$ 是有界的，则存在 $M\in\mathbb R^+$ 使得 $X\subseteq [-M,M]\times \cdots \times [-M,M]$. 由 Heine-Borel 定理，知道 $[-M,M]$ 是紧集。由乘积保持紧性，推出 $[-M,M]\times \cdots \times [-M,M]$ 是紧的，又因为 $X$ 是其闭子集，则 $X$ 是紧的。

附：无穷乘积 (infinite product)

考虑乘积 $\prod _{i\in I}X_i$，其中指标集 $I$ 是任意无限集，那我们如何定义 $\prod_{i\in I}x_i$ 的乘积拓扑呢？

第一种想法，可以是沿用有限情况的构造。定义

$$\beta =\{\prod_{i\in I}U_i:U_i \subseteq X_i\text{ open}\}$$

则以 $\beta$ 为基底，定义了 $\prod _{i\in I}X_i$ 上的一个拓扑，称为箱拓扑 (box topology)。

第二种想法，稍微做了改进（之后会说明箱拓扑的限制性）。定义

$$\beta=\{U_{i_1}\times \cdots \times U_{i_k}\times \prod _{i\in I\setminus \{i_1,\cdots ,i_k\}}X_i:k\geq 0;i_1,\cdots ,i_k\in I,U_{i_j}\subseteq X_{i_j}\text{ open}\}$$

则以 $\beta$ 为基底，定义了 $\prod_{i\in I}X_i$ 上的一个拓扑，称为乘积拓扑 (product topology)。

Remark 当 $|I|<\infty$ 时，箱拓扑就是乘积拓扑。

Theorem 如果 $X_i$ 是 Hausdorff 空间，那么 $\prod_{i\in I}X_i$ 在箱拓扑和乘积拓扑下都是 Hausdorff 空间。

接下来说明两种拓扑的不同之处。

Theorem 设 $f:Y\to\prod_{i\in I}X_i$，取 $\prod_{i\in I}X_i$ 上的乘积拓扑。则 $f$ 是连续的，当且仅当 $\pi_i\circ f:Y\to X_i$ 是连续的，其中 $\pi_i:\prod_{i\in I}\to X_i$ 是投影。

Remark 设 $\prod_{i\in I}X_i$ 配备箱拓扑，且 $\pi_i\circ f$ 是连续的。那么 $f$ 不一定是连续的。考虑 $I=\mathbb N,X_i=\mathbb R=Y$，定义

$$f:\mathbb R\to \prod_{i\in \mathbb N}\mathbb R,\quad f(x)\mapsto (x,x,\cdots )$$

那么 $\pi\circ f$ 是连续的。但取开集 $U=\prod_{i\in\mathbb N}(-1/i,1/i)$ 时，$f^{-1}(U)=\{0\}\subseteq \mathbb R$ 不是开的，说明 $f$ 不连续。

Theorem (Tychonoff) 如果 $X_i$ 是紧的，那么 ////////////////////////////

Remark 如果 $X_i$ 是紧的，$\prod_{i\in I}$ 不一定是紧的。////////////////////////////