有两种观点看待 “连通性”：

（1）集合论观点：$X$ 是连通的，当且仅当 $X=A\cup B$，其中 $A,B\neq \emptyset$ 满足 $\overline A\cap B\neq\emptyset$ 或 $\overline B\cap A\neq\emptyset$.

（2）几何观点：记 $I=[a,b]\subseteq \mathbb R$，$X$ 是连通的，当且仅当对于任意 $p,q\in X$，存在 $f:I\to X$ 是连续映射，使得 $f(0)=p,f(1)=q$.

我们将第一个观点的概念称为连通性，第二个观点的概念称为道路连通性。事实上，道路连通蕴含连通，反过来则不一定成立。

# 连通性

Definition 空间 $X$ 称作连通的，如果对任意 $A,B\neq \emptyset$ 满足 $X=A\cup B$，总是有 $\overline A\cap B\neq \emptyset$ 或 $\overline B\cap A\neq \emptyset$.

Theorem 以下陈述等价：

1. $X$ 是连通的；
2. $X$ 的既开又闭的子集只有 $X,\emptyset$；
3. $X$ 不能被表示为两个非空开集的不交并。

证明：

（1->2）考虑 $A\subseteq X$ 是既开又闭的集合，那么 $B:=X\setminus A$ 也是既开又闭的，所以 $A=\overline A,B=\overline B$，并且 $\overline A\cap B=A\cap \overline B=A\cap B=\emptyset$，所以 $A,B$ 至少有一个是 $\emptyset$，推出 $A=\emptyset$ 或者 $A=X$.

（2->3）设 $X=A\sqcup B$，其中 $A,B$ 都是开集，那么推出 $A,B$ 既开又闭，推出 $\{A,B\}=\{\emptyset,X\}$.

（3->1）设 $X=A\sqcup B$，其中 $A,B\neq \emptyset$. 假设 $\overline A\cap B=A\cap \overline B=\emptyset$，那么 $X=A\sqcup B=\overline A\sqcup B=A\sqcup \overline B$ 推出 $A=\overline A,B=\overline B$，这说明 $A,B$ 既开又闭，矛盾。

给出几个连通的例子。

Theorem $\mathbb R$ 是连通的。

证明：反证法。假设 $\mathbb R=A\sqcup B$，其中 $A,B\neq\emptyset$ 满足 $\overline A\cap B=A\cap \overline B=\emptyset$，则推出 $A\cap B=\emptyset$，那么

Theorem 非空集合 $X\subseteq\mathbb R$ 是连通的，当且仅当 $X$ 是区间。

证明：

（1）反证法。假设 $X$ 不是区间，那么存在 $p\in \mathbb R\setminus X$ 和 $a,b\in X$ 使得 $a<p<b$. 设

$$A=\{x\in X:x<p\},B=\{x\in X:x>p\}$$

那么 $A,B\neq \emptyset,X=A\cup B,A\cap B=\emptyset$，那么对于任意 $x\in A$，存在 $\varepsilon>0$ 使得 $x+\epsilon<p$，这推出 \\\\\\\\\\

给出不同运算下的连通性。

Theorem 设 $f:X\to Y$ 是连续映射。如果 $X$ 是连通的，那么 $f(X)$ 也是连通的。

证明：设 $f(X)=A\cup B$，其中 $A,B$ 是 $f(X)$ 的不交开集，则拉回得到 $X=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$，且由 $f$ 的连续性知道 $f^{-1}(A),f^{-1}(B)$ 是 $X$ 的不交开集。由 $X$ 是连通集，推出 $f^{-1}(A),f^{-1}(B)$ 有一个是 $\emptyset$，所以 $A,B$ 有一个是 $\emptyset$，推出 $f(X)$ 是连通的。

Corollary 同胚保持连通性。

Theorem 闭包保持连通性。即设拓扑空间 $X$ 且 $Z\subseteq X$ 是稠密子集，如果 $Z$ 是连通的，那么 $X$ 也是连通的。

证明：设 $\emptyset\neq A\subseteq X$ 是既开又闭的集合。因为 $\overline Z=X$ 且 $A$ 是开集，那么 $Z\cap A\neq \emptyset$. 从而限制在子空间 $Z$ 上，知道 $Z\cap A$ 是 $Z$ 中既开又闭的非空子集，由连通性推出 $Z\cap A=Z$，所以 $Z\subseteq A$. 推出 $X=\overline Z\subseteq \overline A=A$，推出 $X=A$.

Corollary 如果 $Z\subseteq X$ 且 $Z$ 是连通的，$Z\subseteq Y\subseteq \overline Z$，那么 $Y$ 是连通的。

证明：取 $Z$ 在子空间 $Y$ 的闭包即可。

考虑取连通集的并集、交集，是否还是连通的？

Example 一般情况下连通集的并集不是连通的，比如考虑两个不交的连通闭集。

Definition 设 $A,B\subseteq X$，我们称 $A,B$ 是分离 (separated) 的，如果 $\overline A\cap\overline B=\emptyset$.

Theorem 设 $X=\bigcup_\alpha A_\alpha$，其中 $A_\alpha$ 是连通的。如果 $\{A_\alpha\}$ 中任意两个成员都不可分离，那么 $X$ 是连通的。

证明：设 $B\subseteq X$ 是既开又闭的集合，由于 $A_\alpha$ 是连通的，那么 $B\cap A_\alpha$ 是 $\emptyset$ 或者 $A_\alpha$；如果 $B\cap A_\alpha=\emptyset$ 对任意 $\alpha$ 成立，那么 $B=\emptyset$. 如果存在 $A_{\alpha_0}$ 使得 $B\cap A_{\alpha_0}=A_{\alpha_0}$，那么 $A_{\alpha_0}\subseteq B$；如果存在 $A_{\alpha_1}$ 使得 $A_{\alpha_1}\cap B=\emptyset$，由于 $B$ 是闭的，那么 $\overline A_{\alpha_0}\subseteq B$，由于 $X\setminus B$ 也是闭的，那么 $\overline A_{\alpha_1}\subseteq X\setminus B$，这推出 $\overline A_{\alpha_0}\cap \overline A_{\alpha_1}=\emptyset$，矛盾。所以我们推出 $A_\alpha\cap B=A_\alpha$ 对所有 $\alpha$ 成立，推出 $B=X$.

Corollary 如果 $X=\bigcup _\alpha A_\alpha$ 且 $A_\alpha$ 是连通的。如果 $\bigcap_\alpha A_\alpha\neq \emptyset$，那么 $X$ 是连通的。

Remark 如果 $A,B\subseteq X$ 且 $A,B$ 是连通的，那么 $A\cap B$ 一般来说不是连通的。比如考虑 $A=[1,3]\cup [4,6]$ 和 $B=[2,5]$.

Theorem 设 $X,Y$ 是非空空间，那么 $X\times Y$ 是连通的，当且仅当 $X,Y$ 是连通的。

证明：

（1）必要性。考虑 $p_X,p_Y$ 是投影映射，它们是连续函数，所以连通空间在连续函数的像是连通的。

（2）对于任意 $x\in X$，考虑截面 $\{x\}\times Y$，它同胚于 $Y$，所以是连通的。同理 $X\times \{y\}$ 是连通的。因为两个截面 $(\{x\}\times Y)\cap( X\times \{y\})=\{(x,y)\}$，所以 $A(x,y):=(\{x\}\times Y)\cup (X\times \{y\})$ 是连通的，那么对于任意 $(x',y')\in X\times Y$，$A(x,y)\cap A(x',y')\neq \emptyset$，这推出 $X\times Y=\bigcup _{(x,y)\in X\times Y}A(x,y)$ 是连通的。

Remark 几何上是直观的。

Corollary $\mathbb R^n=\mathbb R\times \mathbb R\times \cdots \times \mathbb R$ 是连通的。

Definition 对任意 $x,y\in X$，定义等价关系 $x\sim y$，如果存在连通集 $A\subseteq X$ 使得 $x,y\in A$. 在 $X$ 上诱导的等价类称为连通分支 (connected components).

Remark 连通分支一定是（包含关系下）极大的连通子集。

证明：取 $x_0\in A$，其中 $A$ 是连通分支，那么存在连通集 $B_x$ 使得 $x,x_0\in B_x$，推出 $A=\bigcup_{x\in A}B_x$ 是连通的，因为 $B_x$ 有公共点 $x$.

Remark $\sim$ 确实是等价关系。

证明：自反性和对称性显然，下面证明传递性。设 $x\sim y,y\sim z$，那么存在连通集 $A,B$ 使得 $x,y\in A,y,z\in B$，那么 $A\cap B\neq \emptyset$，所以 $A\cup B$ 是连通的，推出 $x,z\in A\cup B$，所以 $x\sim z$.

Theorem 拓扑空间 $X$ 的连通分支都是闭集，且不同的连通分支相互分离。

证明：设 $A\subseteq X$ 是连通分支，那么 $A$ 是连通的，取闭包知道 $\overline A$ 是连通的。而 $A$ 是极大的，所以 $A=\overline A$，推出闭集。假设 $B$ 是另一个连通分支，使得 $A,B$ 是不可分离的，那么 $A\cup B$ 是连通的，与 $A,B$ 的极大性矛盾。

Example $\mathbb R\setminus\{0\}$ 有两个连通分支：$(-\infty,0),(0,\infty)$，它们在 $\mathbb R\setminus \{0\}$ 是既开又闭的。

Example 如果 $X$ 有有限个连通分支，那么它们每个都是既开又闭的。

Example 对于任意 $x\in\mathbb Q$，单点集 $\{x\}$ 是连通分支，$\{x\}$ 是闭集，但不是开的。

Example 设 $X=\{\frac 1n:n\geq 1\}\cup \{0\}$，那么对任意 $x\in X$，$\{x\}$ 是连通分支，在 $X$ 空间中 $\{\frac 1n\}$ 是既开又闭的，$\{0\}$ 是闭集，但不是开的。

# 道路连通性

Definition 拓扑空间 $X$ 中的一个道路 (path) 指的是一个连续映射 $\gamma:[0,1]\to X$，称 $\gamma(0)$ 为道路的起点 (beginning)，$\gamma(1)$ 为道路的终点 (end)，称 $\gamma$ 是连接 (joins) $\gamma(0),\gamma(1)$ 的道路。

Remark 注意区分道路和道路的像，同一个像可以对应不同的道路。

Definition 拓扑空间 $X$ 称为道路连通的 (path-connected)，如果对于任意 $p,q\in X$，存在道路连接 $p,q$.

Theorem 道路连通蕴含连通。

证明：设 $X$ 是道路连通的，设 $\emptyset\neq A\subseteq X$ 是既开又闭的，假设 $A\neq X$，那么选取 $x\in A,y\in X\setminus A$，设 $\gamma$ 是连接 $x,y$ 的道路。则 $\gamma^{-1}(A)$ 是 $[0,1]$ 中既开又闭的集合，但 $\gamma^{-1}(A)\neq \emptyset,[0,1]$，矛盾于 $[0,1]$ 的连通性。

Definition 在拓扑空间 $X$ 上定义等价关系 $x\sim y$，如果存在连接 $x,y$ 的道路。在 $X$ 上诱导的等价类称为 $X$ 的道路连通分支 (path-connected comnonents).

Remark 道路连通分支确实是等价类。

证明：自反性，考虑恒等映射；对称性，考虑逆向的道路 $\gamma(1-t)$；传递性，如果 $x\sim y,y\sim z$，那么存在连接 $x,y$ 的道路 $\gamma_1$ 和连接 $y,z$ 的道路 $\gamma_2$，那么定义

$$\gamma(t)=\begin{cases}\gamma_1(2t),&t\in[0,1/2]\\ \gamma_2(2t-1),&t\in[1/2,1] \end{cases}$$

那么 $\gamma$ 是连接 $x,z$ 的道路（它是连续的，因为 $[0,1/2],[1/2,1]$ 都是 $[0,1]$ 的闭集且 $\gamma$ 在上面连续，而 $[0,1]=[0,1/2]\cup [1/2,1]$，由定义可得）.

Theorem $\mathbb R^n$ 上的连通开集是道路连通的。

证明：设 $X\subseteq \mathbb R^n$ 是连通开集，选取 $x\in X$，定义

$$A=\{y\in X:y \text{ can be joined to }x \text{ by a path in }X\},\quad B=X\setminus A$$

那么 $A\neq \emptyset$，因为 $x\in A$；$A\cap B=\emptyset,A\cup B=X$. 接着证明 $A,B$ 都是开集。

对于任意 $y\in A$，存在 $\varepsilon>0$ 使得 $B(y,\varepsilon)\subseteq X$，那么对于任意 $z\in B(y,\varepsilon)$，存在连接 $y,z$ 的道路 $\gamma(t)=(1-t)y+tz$，所以 $z$ 可以通过先连接 $x,y$ 再连接 $y,z$ 的道路连接到 $x$，所以 $z\in A$，这说明 $A$ 是开集。同理可证 $B$ 是开集。由连通性推出 $B=\emptyset$，所以 $X=A$ 是道路连通的。

Remark 证明中用到了球是道路连通的，这是一个局部性质，可以推广为局部道路连通性。

Example 定义 $Y=\{(0,y)\in\mathbb R^2:-1\leq y\leq 1\},Z=\{(x,\sin \frac \pi x)\in\mathbb R^2:0<x<1\}$，取 $X=Y\cup Z$，称 $X$ 是拓扑学家的正弦曲线 (topologist's sine curve)，它是连通的，但不是道路连通的。

证明：

(1) $X,Z$ 是连通的。首先存在连续映射

$$Z=f((0,1]),\quad f(x)=(x,\sin \frac \pi x)$$

所以 $Z$ 是连通的。对于任意 $y_0\in [-1,1]$，存在 $x_n=\frac 1{n+\frac 12}$ 使得 $\sin \frac \pi {x_n}=(-1)^n$，所以 $(0,y_0)$ 是 $Z$ 的聚点，所以 $\overline Z=Z\cup Y=X$，所以 $X$ 是连通的。

(2) $X$ 不是道路连通的。假设存在连接 $(0,0),(1,\sin \pi)$ 的道路 $\gamma:[0,1]\to X$，那么 $\gamma^{-1}(Y)$ 是 $[0,1]$ 中既开又闭的集合，并且 $\gamma^{-1}(Y)\neq \emptyset,[0,1]$，矛盾。

(3) $X$ 的连通分支和道路连通分支分别是 $Y$ 和 $Z$.

Remark 因为 $\overline Z=X$，所以 $Z$ 不是闭集。因此道路连通分支不一定是闭集。