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# 粘合空间

Example 考虑在 R3\mathbb R^3 中的圆柱面 x2+y2=1,0≤z≤1x^2+y^2=1,0\leq z\leq 1 的侧面。一方面，可以从 R3\mathbb R^3 拓扑空间考虑子空间拓扑。另一方面，可以考虑通过粘合矩形的两边得到圆柱面侧面，它化归到了矩形。

前者更具体，后者更抽象，但也在更简单的空间中进行研究。

Example 考虑环面 (turus) X⊆R3X\subseteq \mathbb R^3，它可以看作是 R2\mathbb R^2 上的平面区域 [0,2π]×[0,2π][0,2\pi]\times [0,2\pi] 的两对边粘合而成的。

Example 考虑莫比乌斯带 (Mobius band) MM，它可以看作是 R2\mathbb R^2 上的平面区域 [0,1]×[−1,1][0,1]\times [-1,1] 的两条边粘合而成的。

Example 考虑克莱因瓶 (Klein bottle) KK，它可以看作是 R2\mathbb R^2 上的平面区域 [0,2π]×[0,2π][0,2\pi]\times [0,2\pi] 的两对边粘合而成的。但是不能嵌入到 R3\mathbb R^3 中。

Example 考虑实射影平面 (real projective plane) P2P^2，它可以看作是 R2\mathbb R^2 上的平面区域 [0,1]×[0,1][0,1]\times [0,1] 的两对边反向粘合而成的。但是不能嵌入到 R3\mathbb R^3 中。

Definition 设 XX 是拓扑空间，考虑划分 (partition)

X=⨆i∈IPi,Pi≠∅X=\bigsqcup _{i\in I}P_i,\quad P_i\neq\emptyset

设 Y={Pi:i∈I}Y=\{P_i:i\in I\}，定义映射

π:X→Y,x↦π(x)=Pi,∀x∈Pi\pi:X\to Y,\quad x\mapsto \pi (x)=P_i,\quad \forall x\in P_i

赋予 YY 空间一个拓扑结构：U⊆YU\subseteq Y 是开集，当且仅当 π−1(U)\pi^{-1}(U) 是 XX 的开集。称为粘合拓扑 (identification topology)，称 YY 为关于划分 X=⨆i∈IPiX=\bigsqcup _{i\in I} P_i 的粘合空间 (identification space)。

Example 考虑圆柱面，则 X={(x,y):0≤x≤1,0≤y≤1}∪{(0,y),(1,y)}X=\{(x,y):0\leq x\leq 1,0\leq y\leq 1\}\cup \{(0,y),(1,y)\}，YY 是圆柱面侧面，π:X→Y\pi:X\to Y 是粘合映射。

Theorem （泛性质）设 YY 是粘合空间，π:X→Y\pi:X\to Y 是粘合映射，ZZ 是拓扑空间。则映射 f:Y→Zf:Y\to Z 是连续映射，当且仅当 f∘π:X→Zf\circ \pi:X\to Z 连续。

\begin{CD} X @>{\pi}>> Y \\ @V{f\circ\pi}VV @VV{f}V \\ Z @>>{1}> Z \end{CD}

证明：设 U⊆ZU\subseteq Z 是开集，那么 f−1(U)f^{-1}(U) 是 YY 的开集，当且仅当 π−1(f−1(U))=(f∘π)−1(U)\pi^{-1}(f^{-1}(U))=(f\circ \pi)^{-1}(U) 是 XX 的开集。所以 ff 连续，当且仅当 f∘πf\circ \pi 连续。

Definition 设 f:X→Yf:X\to Y 是连续满射，假设 U⊆YU\subseteq Y 是开集，当且仅当 f−1(U)f^{-1}(U) 是 XX 的开集。那么我们称 ff 是粘合映射 (identification map)。

Remark 设 Y∗Y_* 是关于划分 X=⨆y∈Yf−1(y)X=\bigsqcup_{y\in Y}f^{-1}(y) 的粘合空间，那么设

h:Y∗→Y,f−1(y)↦yh:Y_*\to Y,\quad f^{-1}(y)\mapsto y

则 hh 是同胚。并且我们还有一个交换图表
\\\\\\\\\\

Theorem 设 f:X→Yf:X\to Y 是连续满射。如果 ff 是开映射或闭映射，那么 ff 是粘合映射。

证明：对于 U⊆YU\subseteq Y，如果 f−1(U)f^{-1}(U) 是 XX 的开集，那么 U=f(f−1(U))U=f(f^{-1}(U)) 是 YY 的开集；而 U⊆YU\subseteq Y 如果是开的，由连续性知道 f−1(U)f^{-1}(U) 是开的。综上，ff 是粘合映射。闭映射的情况是同理的。

Corollay 设 f:X→Yf:X\to Y 是连续满射。如果 XX 是紧空间，YY 是 Hausdorff 空间，那么 ff 是粘合映射。

证明：设 A⊆XA\subseteq X 是闭集，那么 AA 是紧集，由 ff 的连续性，f(A)f(A) 是紧集，由 YY 的 Hausdorff 性，f(A)f(A) 是闭集，所以 ff 是闭映射，推出 ff 是粘合映射。

回忆对连续性的局部刻画：

  1. 对于 X=⋃αUαX=\bigcup_\alpha U_\alpha，其中 Uα⊆XU_\alpha\subseteq X 是开集，考虑 f:X→Yf:X\to Y 使得 f∣Uαf|_{U_\alpha} 是连续的，那么就能推出 ff 是连续的；
  2. 对于 X=⋃i=1nFiX=\bigcup_{i=1}^n F_i，其中 Fi⊆XF_i\subseteq X 是闭集，考虑 f:X→Yf:X\to Y 使得 f∣Fif|_{F_i} 是连续的，那么就能推出 ff 是连续的。

这个结论可以进一步推广。

设任意覆盖 X=⋃α∈AXαX=\bigcup_{\alpha\in A}X_\alpha，其中 Xα⊆XX_\alpha\subseteq X，定义

X~:={(x,α):x∈Xα,α∈A}\tilde X:=\{(x,\alpha):x\in X_\alpha,\alpha\in A\}

认为 XαX_\alpha 等同于 Xα×{α}⊆X~X_\alpha\times \{\alpha\}\subseteq \tilde X，那么我们相当于将原覆盖中重合的点分开了。得到了划分

X~=⨆α∈AXα\tilde X=\bigsqcup_{\alpha\in A}X_\alpha

定义 U⊆X~U\subseteq \tilde X 是开集，当且仅当 U∩XαU\cap X_\alpha 是 XX 的开集（即每个分量都是开的），那么 X~\tilde X 是拓扑空间。设 j:X~→Xj:\tilde X\to X 是典范映射，使得 j(x,α)=xj(x,\alpha)=x.

Theorem 设映射 f:X=⋃Xα→Yf:X=\bigcup X_\alpha\to Y 满足 f∣Xαf|_{X_\alpha} 是连续的；如果 j:X~→Xj:\tilde X\to X 是粘合映射，那么 ff 是连续的。

证明：因为 jj 是粘合映射，所以 ff 是连续的，当且仅当 f∘j:X~→Yf\circ j:\tilde X\to Y 连续，当且仅当 f∘j∣Xα=f∣Xαf\circ j|_{X_\alpha}=f|_{X_\alpha} 是连续的。

Remark 当取覆盖为有限闭覆盖或任意开覆盖时，j:X~→Xj:\tilde X\to X 是粘合映射，所以先前的命题成立。

Example 考虑圆盘 B2={(x,y):x2+y2≤1}B^2=\{(x,y):x^2+y^2\leq 1\} 和圆周 S1={(x,y):x2+y2=1}S^1=\{(x,y):x^2+y^2=1\}. 设 B2→XB^2\to X 是粘合映射，它把边界圆周 S1S^1 上的点都映到一个点 p∈Xp\in X 上，即（这里把 S1S^1 看成一个点）

X={(x,y):x2+y2<1}∪{S1}X=\{(x,y):x^2+y^2<1\}\cup \{S^1\}

记为 X=B2/S1X={B^2}/{S^1}，那么 X≃S2X\simeq S^2.

一般地，考虑 Bn={x∈Rn:∣x∣≤1}B^n=\{x\in\mathbb R^n:|x|\leq 1\} 和 Sn−1={x∈Rn:∣x∣=1}S^{n-1}=\{x\in\mathbb R^n:|x|=1\}，设 Bn→XB^n\to X 是粘合映射，它把边界球面 Sn−1S^{n-1} 上的点都映到一个点 p∈Xp\in X 上，那么 X=Bn/Sn−1≃SnX=B^n/S^{n-1}\simeq S^n.

证明：注意到 Bn∖Sn−1≃RnB^n\setminus S^{n-1}\simeq \mathbb R^n；还有球极投影推出 Sn∖{N}≃RnS^n\setminus \{N\}\simeq \mathbb R^n，其中 NN 是北极点 (0,0,⋯,1)(0,0,\cdots,1)，再补上挖去的点，可以完成证明。

Example 射影空间 (projective space)