# 拓扑空间

Reference. [Armstrong.43-44] 给出开覆盖 (open cover)，子（开）覆盖 (subcover)，真子覆盖 (proper subcover)，有限子覆盖 (finite subcover) 的定义。

Remark. 谈论覆盖，默认是开覆盖。

Theorem. $(\mathbb R^n,\tau_{\mathbb R^n})$ 的有界闭集是紧集。

# 紧空间

Definition. $(X,\tau)$ 是紧 (compact) 的，当且仅当 $X$ 的任意开覆盖都有有限子覆盖。根据子空间拓扑可以定义拓扑空间的子集的紧性。

Theorem. 连续函数将紧集映为紧集。

Theorem. 紧空间的闭子集是紧集。

Remark. 闭集不一定是紧集。紧集的闭包不一定是紧集。

Theorem. Hausdorff 空间的紧子集是闭集。

Remark. 紧集不一定是闭集。

Example. 考虑 $\mathbb R$ 配备有限补拓扑，所有集合都是紧集。

Corollary. 紧空间到 Hausdorff 空间的连续双射是同胚。

Remark. 紧空间到 Hausdorff 空间的连续映射是闭映射。

Corollary. Hausdorff 空间可以区分有限个不交紧子集。

Lemma. (Bolzano-Weierstrass) 紧空间的无限子集一定有极限点。

Lemma. (Lebesgue) 对紧度量空间上的开覆盖，都存在 $\delta>0$ 使得任意 $B(x,\delta)$ 恰包含于开覆盖的一个成员中。

Remark. 紧是必需的。

Armstrong 习题：P5 (cde) 需要相关定义，在后续章节会提到；

Example.C3.P11 Find a topological space and a compact subset whose closure is not compact.

解答

Proof. 回顾闭包的定义。考虑 $\mathbb R$ 配备左射线拓扑

$\tau=\{\varnothing,\mathbb R\}\cup\{(-\infty,a):a\in\mathbb R\}$

则 $K=\{0\}$ 是紧的，但 $\overline K=[0,\infty)$ 不紧。

Theorem. Euclid 空间的紧集，等价于有界闭集。

Corollary. 定义在紧集上的连续实值函数有界且可以取到最值。