参考：Allen Hatcher, Algebraic Topology, Chapter 0. 以及 M.A. Armstrong, Basic Topology, Chapter 5.

# 粘合空间

Definition. $(X,\tau)$ 的划分 $Y$ 诱导分类映射
$\pi :X\to Y,\quad \pi(x)\mapsto U\ni x$
配备如下拓扑的 $Y$ 称为 $X$ 的粘合空间 (identification space)。
$U\text{ open in }Y\iff \pi^{-1}(U)\text{ open in }X$

Remark. 粘合空间 $Y$ 是使得 $\pi$ 连续的最大拓扑空间。它将 $Y$ 中所有原像为开集的集合都定义为开集。

Remark. 上述定义先指定了划分，再诱导映射。如果取满射 $f:X\to Y_*$ ，那么根据函数值， $f$ 诱导了 $X$ 的一个划分 $\bigsqcup_{y\in Y_*} f^{-1}(y)$ ，从而诱导分类映射 $\pi_f$ ，诱导粘合空间 $Y$ 。而考虑到如下泛性质

Corollary. 分类映射 $\pi$ 满足 $f\pi:X\to Z$ 连续当且仅当 $f:Y\to Z$ 连续。

只要我们将 $Y_*$ 上的拓扑定义为使得 $f$ 连续的最大拓扑，那么 $Y\cong Y_*$ ，因此就不用再借助划分来定义粘合空间。

Definition. 连续满射 $f:X\to f(X)$ （在 $f$ 的最大拓扑意义下）称为粘合映射 (identification map)。

Example. 分类映射 $\pi$ 是粘合映射。

Theorem. 粘合映射 $f$ 满足 $g:Y\to Z$ 连续等价于 $gf:X\to Z$ 连续。

# 从最大拓扑看粘合映射

Theorem. 连续满射 $f$ 是开映射，则 $f$ 是粘合映射。

# 常用推论

Corollary. 连续满射 $f$ 从紧空间映到 Hausdorff 空间，则 $f$ 是粘合映射。

# 粘合空间：例

部分性质和概念在之后章节提及。

# 环面 (torus)

Definition. 取单位正方形 $I\times I$ ，进行如下划分：

顶点粘合： $\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}$ ；
一组对边同向粘合： $\{(x,0),(x,1)\}$ ，其中 $0<x<1$ ；
一组对边同向粘合： $\{(0,y),(1,y)\}$ ，其中 $0<y<1$ ；
内点不粘合： $\{(x,y)\}$ ，其中 $0<x<1,0<y<1$ 。

划分诱导的粘合空间就是环面 $\mathbb T^2$ 。

Definition. 乘积空间 $\mathbb S^1\times \mathbb S^1$ 是环面 $\mathbb T^2$ 。

Remark. 以上两个定义是等价的。连续满射 $f$ 是开映射（都在子空间拓扑下）

$f:I\times I\to \mathbb S^1\times \mathbb S^1,\quad (x,y)=(e^{2\pi ix},e^{2\pi iy})$

所以 $f$ 是粘合映射。根据交换图，并验证双射后，知道 $\mathbb S^1\times \mathbb S^1\cong \pi(I\times I)$ 。

# 锥 (cone)

Definition. 对 $(X,\tau)$ ，柱体 $X\times I$ 进行如下划分：

锥尖： $\{X\times \{1\}\}$ ；
其余点不粘合： $\{(x,y)\}$ ，其中 $x\in X,0\leq y<1$ 。

划分诱导的粘合空间就是锥 $CX$ 。

特别地，如果在 Euclid 空间中，可以定义我们常说的几何锥体。

Definition. 对 $X\subseteq \mathbb R^n$ ，定义它在 $\mathbb R^{n+1}$ 的几何锥体为

$CX_g:=\{f(x,t):=tv+(1-t)x:x\in X,v=(0,\ldots,0,1)\in\mathbb R^{n+1}\}$

它随高度增大，将 $X$ 逐渐 “捏” 成一点。

Remark. 对 Euclid 空间，以上定义是等价的。和环面一样，考虑交换图，验证双射即可说明 $CX_g\cong CX$ 。

# B^n/Sn-1

# 射影空间

# Klein 瓶

# 贴空间 (attaching space)

贴空间就是通过一个连续映射将两个本不相关的空间贴在一起，形成新的拓扑结构。这也是粘合空间的一种。

# 和空间

# 粘合引理

# 贴空间

Definition. 对 $(X,\tau_X),(Y,\tau_Y)$ ， $A\subseteq Y$ ，有连续映射 $f:A\to X$ ，则对 $X+Y$ 作如下划分：

通过 $f$ 联系： $\{a,f(a)\}$ ，其中 $a\in A$ ；
$X$ 其他点不粘合： $\{x\}$ ，其中 $x\in X\setminus \mathrm{Im}(f)$ ；
$Y$ 其他点不粘合： $\{y\}$ ，其中 $y\in Y\setminus A$ 。

划分诱导的粘合空间就是 $X,Y$ 通过 $f$ 的贴空间，记作 $X\cup _fY$ ，连续映射 $f$ 称为贴映射。

Definition. 对于连续映射 $f:X\to Y$ ，其映射圆柱面 (mapping cylinder) $M_f$ 定义为和空间 $(X\times I)+Y$ 的一个粘合空间，满足粘合规则：
$(x,1)\sim f(x),\quad \forall (x,1)\in X\times I$

Corollary. 映射圆柱面可以形变收缩到 $Y$ ，因此 $M_f\simeq Y$ 。

# 胞腔复形

Definition. 胞腔复形 (cell complex) 或 CW 复形 (CW complex) 是通过如下方式构造的拓扑空间，拓扑结构从粘合映射诱导而来，其中 $n$ - 胞 ( $n$ -cell) 是同胚意义下的 $\mathbb S^n$ ：
从离散点集 $X^0$ 开始，这些点称为 $0$ - 胞；
归纳地从 $X^{n-1}$ 建立 $n$ - 骨架 ( $n$ -skeleton) $X^n$ 。具体而言，就是将 $n$ - 胞 $e^n_\alpha$ 通过连续映射 $\varphi_\alpha:\mathbb S^{n-1}\to X^{n-1}$ 形成贴空间：
$X^n:=X^{n-1}\cup_\alpha e^n_\alpha$
这个过程可以在有限步后停止，也可以无穷进行下去。分别记为
$X=X^n,n<\infty;\quad X=\bigcup_n X^n$
对有限步，称最少步数 $n$ 是此胞腔复形的维数 (dimension)。

Remark. 无穷过程构造的胞腔复形具有弱拓扑 (weak topology)： $A\subseteq X$ 是开（闭）的，当且仅当 $A\cap X^n$ 对任意 $n$ 都是开（闭）的。

Example. $n$ 个亏格的环面是由 $2n$ 边形通过粘合得到的。这也可以看作是通过选取一点作为 $0$ - 胞，粘合 $n$ 条 $1$ - 胞，再粘合 $1$ 个 $2$ - 胞得到的 CW 复形。

Example. $1$ 维 CW 复形称为图 (graph)，它由顶点和连接顶点的线段构成（可以自连接）。

Remark. 不同胞数和维数的胞腔复形的同伦型不一定相同。

# 拓扑群

粘合空间的工具有助于我们研究拓扑群。拓扑群通过群作用可以得到商空间，即粘合空间，于是我们可以研究这些商空间的性质。

# 基本概念

Definition. Hausdorff 空间 $G$ ，既具有拓扑结构，又有群结构，并且相容，即乘法运算映射和取逆运算映射是连续的
$\mathrm m:G\times G\to G,\quad \mathrm i:G\to G$
那么称 $G$ 是拓扑群 (topological group)。

Remark. 乘法运算映射连续是很强的条件，不要与之后的左乘映射混淆。前者是集合与集合的作用，后者是单点集和集合的作用。取逆映射也是集合层面的。

Remark. 拓扑群意义的同构，是指满足拓扑和群意义下的同构，即同胚与群同构。同理，拓扑群的子群是群的子群，并且配备子空间拓扑。而拓扑群的商群，需要满足是群的商群，并且配备一个拓扑，这个拓扑就是粘合空间诱导的拓扑，称为商拓扑。

Example. 给定 $x\in G$ ，左乘（左平移）映射和右乘（右平移）映射都是拓扑群同构。

$L_x(g)=xg,\quad R_x(g)=gx,\quad \forall g\in G$

Remark. 复合。以左平移映射为例。

其中嵌入映射 $\iota_x$ 是连续映射，因为可以看成常值映射和恒等映射的积映射。

$\iota_x(g)=(c_x(g),\mathrm{id}_G(g))$

Remark. 拓扑群具有均匀结构。

# 拓扑群具有均匀结构

Theorem. 包含单位元的连通分支是拓扑群的闭正规子群。

Theorem. 单位元的任一邻域生成其所在连通分支。

Corollary. 连通拓扑群的单位元的任一邻域生成整个群。

# 拓扑群：例

# 矩阵群

# 轨道空间

# 群作用

Definition. 称拓扑群 $G$ 可以被视为 $(X,\tau)$ 上的自同胚映射子群，作用 (act) 在 $X$ 上，如果存在群作用映射 $\varphi$ 使得 $G$ 中每个元素对应 $X$ 上的一个自同胚映射，并且满足如下公理：
群作用映射是连续的：
$\varphi:G\times X\to X,\quad (g,x)\mapsto g(x):=\varphi(g)(x)$
单位元作用为恒等映射： $e(x)=x,\forall x\in X$ ；
群乘法与映射复合相容： $(h\cdot g)(x)=h\circ g(x),\forall g,h\in G,x\in X$ 。

Notation. 拓扑群 $G$ 作用在拓扑空间 $X$ 上，记作 ${G\curvearrowright}X$ 。

Definition. 对 $x\in X$ ，考虑 $G\curvearrowright X$ ，则称 $x$ 的轨道 (orbit) 为
$O(x):=\{g(x):g\in G\}$
称 $X$ 的所有轨道的集合为轨道空间 (orbit space)，记作 $X/G$ ；如果 $x,y\in X$ 在同一个轨道空间，记为 $x\sim y$ 。

Remark. 轨道诱导了 $X$ 上的一个等价关系，也是一个划分。从而群作用诱导了 $X$ 的粘合空间 $X/G$ 。

Remark. 群作用是传递 (transitive) 的，如果轨道空间平凡。

Topology