# 同伦

Definition. 连续映射 $f,g:X\to Y$，称 $f,g$ 同伦 (homotopic)，记为 $f\simeq_F g$，如果存在连续映射

$$F:X\times I\to Y,\quad F(x,0)=f(x),F(x,1)=g(x),\quad \forall x\in X$$

如果还可以保持子空间不变，即

$$F(x,t)=f(x)=g(x),\quad \forall t\in I,x\in A\subseteq X$$

则称 $f,g$ 相对 $A$ 同伦，记为 $f\simeq _F g\ \mathrm{rel} A$。

Notation. $I$ 是区间 $[0,1]$。

Remark. 连续映射之间的同伦，描述了 $f,g$ 对 $X$ 作用的效果在 $Y$ 上连续变化的过程。许多例子可以在道路同伦中找到。

# 同伦的性质

Lemma. 同伦是 $C(X;Y)$ 上的等价关系；相对同伦是 $C(X:f(A);Y)$ 上的等价关系。

Notation. $C(X;Y)$ 是从 $X$ 到 $Y$ 的连续映射全体。$C(X:A;Y)$ 是与连续映射 $f$ 在 $A\subseteq X$ 上一致的从 $X$ 到 $Y$ 连续映射全体。

Lemma. 连续映射复合保持（相对）同伦。

# 同伦的例子

# 道路同伦

道路同伦是相对同伦的特例，继承相关性质。

Definition. $(X,\tau)$ 中的道路 (path) 是指连续映射 $f:I\to X$。

Remark. 注意区分道路和道路像，这要求我们引出道路同伦类。

Definition. $(X,\tau)$ 中的 （道路）同伦 (homotopy) 指的是一族映射 $\{f_t\}_{t\in[0,1]}$，满足

1. $f_t:I\to X$ 是道路，并且 $f_t(0)=x_0,f_t(1)=x_1$ 与 $t$ 无关；
2. 同伦映射是连续的

$$F:I\times I\to X,\quad F(s,t)=f_t(s)$$

同时称连续映射 $f_0,f_1$ 是同伦的，记为 $f_0\simeq f_1$。

Remark. 道路同伦描述了固定始终点，道路 $f_0$ 连续 “形变” 到道路 $f_1$ 的过程。

Remark. 同伦映射 $F$ 在正方形定义域上是连续的。

# 道路同伦的性质

Lemma. 凸拓扑空间中任意同始终点的道路都同伦。

Remark. 显式地写出同伦映射。

$$F(s,t)=s\gamma_1(t)+(1-s)\gamma_2(t)$$

Remark. 因为道路的定义域 $I$ 是凸空间，所以允许我们在保持道路同伦的前提下进行重参数化 (reparametrization)。这是我们定义道路乘法和基本群的基础。

# 道路乘积

Definition. 给定道路 $f,g:I\to X$，满足 $f(1)=g(0)$，则定义道路乘积 (product path) 为 $f.g$。

$$f.g(s)=\begin{cases}f(2s), & 0\leq s\leq \tfrac 12\\ g(2s-1), & \tfrac 12\leq s\leq 1\end{cases}$$

# 回路与基本群

将始终点合为一点，则就有回路。回路是特殊的道路。回路的一些性质也可以推广到道路，但是并不重要。

Definition. 回路 (loop) 是到 $(X,\tau)$ 的连续映射，满足

$$\alpha:I\to X,\quad \alpha(0)=\alpha(1)$$

称 $\alpha(0)$ 是回路的基点 (base point)。

Remark. 和一般道路一样，回路只要给定基点，就确定了同基点的同伦类，回路 $\alpha$ 对应的同伦类记为 $[\alpha]$，以 $x_0$ 为基点的同伦类全体构成 $\pi_1(X,x_0)$，即基本群 (fundamental group) 或一维同伦群。

Theorem. $\pi_1(X,x_0)$ 在同伦类乘法 $[\alpha.\beta]=[\alpha]\cdot [\beta]$ 下构成群。

Theorem. 道路连通空间中不同基点的基本群之间同构。

Remark. 因此，在同构意义下，记道路连通空间的基本群为 $\pi_1(X)$。

Theorem. 连接 $x_0,x_1$ 的道路 $h$ 诱导基本群同构。

$$h_*:\pi_1(X,x_1)\to \pi_1(X,x_0),\quad h_*[f]=[h.f.h^{-1}]$$

Remark. 基本群平凡的道路连通空间称为单连通 (simply-connected) 空间。

Theorem. 连续映射 $f:X\to Y$ 诱导基本群同态。

$$f_*:\pi_1(X,x_0)\to\pi_1(Y,y_0),\quad f_*[\alpha]=[f\circ \alpha]$$

Notation. 记 $f:X\to Y$ 诱导的基本群同态为 $f_*$。

Theorem. 连续映射诱导基本群同态保持复合。

$$(g\circ f)_*=g_*\circ f_*,\quad \forall f\in C(X;Y),g\in C(Y;Z)$$

Remark. 函子。

Lemma. 同伦道路诱导的基本群同态在复合意义下同构。即 $f\simeq _Fg:X\to Y$，则

$$\pi_1(X,p)\xrightarrow{f_*}\pi_1(Y,f(p))\xrightarrow{\gamma_*}\pi_1(Y,g(p))$$

其中 $\gamma(s)=F(p,s)$ 是从同伦映射中诱导的。

Remark. 直观上看，对于任意 $p$ 回路 $\alpha:I\to X$。将连续映射的同伦映射限制在回路上，诱导了回路的同伦映射 $\tilde F:I\times I\to Y$，满足 $\tilde F(s,0)=f\circ \alpha(s),\tilde F(s,1)=g\circ \alpha(s)$，则在正方形 $I\times I$ 中看，$\gamma(t)=\tilde F(0,t)$ 就描述了基点 $p$ 到 $f(p)$ 的道路。因此从正方形的边长连接来看，显然有

$$[f\circ \alpha]=[\gamma.(g\circ \alpha).\gamma^{-1}]$$

# 同伦等价

同伦等价的定义比同胚更弱，但是在同伦等价的意义下，许多同胚不变量也得以保持。

Definition. 拓扑空间 $X,Y$ 有相同的同伦型 (homotopy type)，或者说是同伦等价 (homotopo equivalent) 的，记为 $X\simeq Y$，如果存在连续映射满足

$$f:X\to Y,g:Y\to X:\quad g\circ f\simeq 1_X,\quad f\circ g\simeq 1_Y$$

称 $f,g$ 互为同伦逆 (homotopy inverse)。

Remark. 同伦等价将复合为单位弱化为复合同伦于单位。

Remark. 同理可以定义相对同伦等价。

Lemma. 同伦等价是拓扑空间的等价关系。

# 形变收缩

形变收缩是单位映射的相对同伦。

Definition. 拓扑空间 $X$ 及其子空间 $A$，称相对 $A$ 的同伦映射 $G:X\times I\to X$ 是 $X$ 到 $A$ 的形变收缩 (deformation retraction)，如果满足

$$G(x,0)=x,G(x,1)\in A,\forall x\in X;\quad G(x,t)=x,\forall t\in I,x\in A$$

称 $A\subseteq X$ 是 $G$ 的形变收缩子空间 (deformation retracted subspace)。

Remark. 一般而言，收缩 (retraction) 指的是 $r:X\to X$ 满足 $r^2=r$ 的连续映射，它是拓扑意义下的投影算子。形变收缩映射 $G$ 中的 $G(x,1)\in A$ 为 $X$ 到 $A$ 的收缩。形变收缩诱导收缩，但是收缩不一定对应存在一个形变收缩。

Remark. 如果存在 $X$ 到 $A$ 的形变收缩，则 $X\simeq A$。考虑嵌入映射。

Lemma. 形变收缩和粘合在以下情形是可交换的。只需要满足以下图表对于任意 $t\in I$ 可交换

这要求 $\pi(x)=\pi(x')$ 的点都满足

$$\pi \circ \tilde F(x,t)=\pi \circ \tilde F(x',t),\quad \forall t\in I$$

即在同伦过程中保持粘合关系，粘合点在形变收缩时不分离。

Remark. 上述引理可以推广到一般的同伦映射。

# 可缩空间

Definition. 拓扑空间 $X$ 是可缩的 (contractible)，如果 $X$ 同伦等价于单点空间。

Definition. 连续映射称为零伦 (nullhomotopic)，如果其同伦于常值映射。

Theorem. 可缩空间当且仅当恒等映射零伦。

Lemma. 像空间是可缩空间的连续映射是同伦的。

Remark. 形变收缩到单点集蕴含可缩。前者还多了保持形变收缩子空间不变的性质。

# 同伦等价的性质

Theorem. 同伦等价的道路连通空间的基本群同构。

Remark. 我们可以将复杂的空间同伦等价到简单的空间，研究后者的基本群。

# 同伦扩张

# 圆的基本群

从最简单的情形 —— 圆入手。相关技术可以推广到复叠空间。

# 道路提升引理

Lemma. 从 $1$ 出发的道路 $f:I\to\mathbb S^1$，存在唯一提升 $\tilde f:I\to\mathbb R$ 从 $0$ 出发，满足 $\omega(s)=p\circ \tilde \omega(s)$。

Remark. $\mathbb R$ 是单连通空间。道路提升引理为圆的基本群定理提供了满射结论。

Remark. 这里的提升是 $\mathbb S^1$ 上的道路提升到圆周螺旋线上的道路。它可以经过投影映射 $p(x)=e^{2\pi xi}$ 映回 $\mathbb S^1$ 中。提升可以区分原道路绕圆周的次数。

# 同伦提升引理

Remark. 同伦提升引理为圆的基本群定理提供了单射结论。

Lemma. 以 $1$ 为基点的 $\mathbb S^1$ 上的道路同伦 $F:I\times I\to \mathbb S^1$，存在唯一提升 $\tilde F:I\times I\to \mathbb R$，满足 $\tilde F(s,0)=0$，并且 $p\circ \tilde F(s,t)=F(s,t)$。

# 圆的基本群

Theorem. 存在整数群到 $\mathbb S^1$ 上以 $1$ 为基点的基本群同构：

$$\phi:\mathbb Z\to\pi_1(\mathbb S^1),\quad n\mapsto \omega_n(s)=e^{2\pi nsi},\quad s\in I$$

Remark. $n$ 的正负对应 $\mathbb S^1$ 上回路的逆顺时针的净圈数，称为道路的阶 (degree)。

# Van Kampen 定理

Van Kampen 定理是计算基本群的有力工具。它将复杂空间的基本群计算归结为简单空间的基本群计算。回忆之前证明的定理：$X=U\cup V$ 是开覆盖，且 $\pi_1(U)=\pi_1(V)=\{e\}$，并且 $U\cap V$ 是道路连通的，那么 $\pi_1(X)=\{e\}$。

这个思想可以推广到更复杂的情形。

# 自由积

回忆群直积的定义：设 $G,H$ 是群，则它们的直积 $G\times H$ 定义为

$$G\times H=\{(g,h):g\in G,h\in H\}$$

配备逐点乘法

$$(g_1,h_1)\cdot (g_2,h_2)=(g_1\cdot g_2,h_1\cdot h_2)$$

而注意到在直积下

$$(g_1,e)\cdot (e,g_2)=(g_1,g_2)=(e,g_2)\cdot (g_1,e)$$

即 $G$ 和 $H$ 的元素在直积中是交换的。即便它们在逐点乘法是各自独立的，但是直积结构强制它们交换，即便它们不是 Abel 群。因此还没那么 “自由”。我们需要定义新的结构。

Definition. 设 $G_1,G_2$ 是群，则定义

1. 单词是 $G_1\cup G_2$ 中有限个元素的有限序列 $(g_1,g_2,\ldots,g_n)$，称单词是约化的，如果对于任意 $1\leq i<n$，都有 $g_i,g_{i+1}$ 不属于同一个群，且非单位。
2. 自由积 $G_1*G_2$ 是所有约化单词的集合，并配备群乘法：

$$(g_1,g_2,\ldots,g_n)\cdot (h_1,h_2,\ldots,h_m)=\mathrm{red}(g_1,g_2,\ldots,g_n,h_1,h_2,\ldots,h_m)$$

其中 $\mathrm{red}(\cdot)$ 表示将单词约化为约化单词的操作，即将相邻的同群元素合并，并删除单位元素，直到不能再约化为止。即如果 $g_n,h_1$ 不属于同一个群，或属于同一个群但 $g_nh_1\neq e$，则就是约化单词。
3. 乘法单位元为 $\langle e\rangle =()$，称为空单词，逆元为

$$(g_1,g_2,\ldots,g_n)^{-1}=(g_n^{-1},g_{n-1}^{-1},\ldots,g_1^{-1})$$

4. 对于一族群 $\{G_\alpha\}_{\alpha\in I}$，定义它们的自由积为

$$\mathop{\Large {\ast}}\limits_{\alpha\in I}G_\alpha=\{\text{reduced words }g_1g_2\cdots g_n:g_i\in G_{\alpha_i},\alpha_i\in I\}$$

特别地，如果 $G_\alpha\cong \mathbb Z$，则称为自由群。

# 自由积的泛性质

对任意 $\forall \alpha$，自由积有自然的同态嵌入

$$i_\alpha:G_\alpha\to \mathop{\Large {\ast}}\limits_{\alpha\in I}G_\alpha,\quad i_\alpha(g)=\begin{cases}(g), & g\neq e\\ (), & g=e\end{cases}$$

类似于直积的投影映射，自由积也有泛性质。

Lemma. 设 $\{G_\alpha\}_{\alpha\in I}$ 是一族群，$H$ 是群，且对任意 $\alpha\in I$，存在群同态 $f_\alpha:G_\alpha\to H$，则存在唯一群同态

$$f:\mathop{\Large {\ast}}\limits_{\alpha\in I}G_\alpha\to H,\quad \varphi\circ i_\alpha=f_\alpha,\ \forall \alpha\in I$$

# Van Kampen 定理

Theorem. Van Kampen 定理：设 $X=\bigcup_\alpha A_\alpha$ 是拓扑空间 $X$ 的开覆盖，且每个 $A_\alpha$ 都包含基点 $x_0\in X$，并且每个 $A_\alpha$ 以及 $A_\alpha\cap A_\beta$ 均道路连通，则有

$$\phi:\mathop{\Large {\ast}}\limits_{\alpha}\pi_1(A_\alpha,x_0)\to \pi_1(X,x_0)$$

是满射。如果每个 $A_\alpha\cap A_\beta\cap A_\gamma$ 道路连通，则 $\ker \phi$ 是由以下类型的元素生成的正规子群：

$$(i_{\alpha\beta})_*([\omega])\cdot (i_{\beta\alpha})_*([\omega]^{-1})$$

其中 $\omega$ 是 $A_\alpha\cap A_\beta$ 中以 $x_0$ 为基点的回路，$i_{\alpha\beta}:A_\alpha\cap A_\beta\to A_\alpha$ 和 $i_{\beta\alpha}:A_\alpha\cap A_\beta\to A_\beta$ 是自然嵌入。

# 应用：Van Kampen 定理计算基本群

Sketch Proof. 设粘合点为 $x_0$，取两个 $\mathbb S^1$ 分别包含 $x_0$ 的圆弧并成 $x_0$ 的开集。则 $\mathbb S^1\vee \mathbb S^1$ 由 $\mathbb S^1_1\cup U$ 和 $\mathbb S^1_2\cup U$ 覆盖，并且由形变收缩可知 $\pi_1(\mathbb S^1_i\cup U)\cong \pi_1(\mathbb S^1_i)\cong \mathbb Z$，而交集同伦等价于 $U$，因此基本群平凡。由 Van Kampen 定理可知

$$\pi_1(\mathbb S^1\vee \mathbb S^1)\cong \pi_1(\mathbb S^1_1)*\pi_1(\mathbb S^1_2)\cong \mathbb Z*\mathbb Z$$

这个结论还可以推广到以下。

Sketch Proof. 记 $A_\alpha=X_\alpha\bigvee_{\beta\neq \alpha}U_\beta$，则 $\{A_\alpha\}_{\alpha\in I}$ 是 $\bigvee_{\alpha\in I}X_\alpha$ 的开覆盖，并且都是道路连通的。而 $A_\alpha\cap A_\beta=A_\alpha\cap A_\beta\cap A_\gamma=\bigvee_{\alpha}U_\alpha$，由可缩可知其基本群平凡，即

$$\phi:\mathop{\Large {\ast}}\limits_{\alpha\in I}\pi_1(X_\alpha,x_\alpha)\to \pi_1\left(\bigvee_{\alpha\in I}X_\alpha,x_0\right)$$

是同构。因此

$$\pi_1\left(\bigvee_{\alpha\in I}X_\alpha\right)\cong \mathop{\Large {\ast}}\limits_{\alpha\in I}\pi_1(X_\alpha)$$

# 补充

# 简单基本群

Theorem. 如果 $X$ 可以被写成两个单连通开子空间的并 $X=U\cup V$，且 $U\cap V$ 道路连通，则 $X$ 单连通。

Theorem. 如果 $G$ 作为单连通空间 $X$ 的自同胚映射子群，并且 $X$ 中任意点都有邻域 $U$ 使得 $U\cap g(U)=\varnothing$ 对任意非平凡 $g\in G$ 成立，则商空间 $X/G$ 的基本群同构于 $G$。

# Brouwer 不动点定理

Theorem. 任意维闭球上的连续映射都有不动点。