# 覆叠空间

回顾 $\pi:\mathbb R\to\mathbb S^1$，其中 $\pi(x)=e^{2\pi ix}$。设 $U=\mathbb S^1\setminus \{-1\}$，$V=\mathbb S^1\setminus \{1\}$，则

$$\pi^{-1}(U)=\bigcup_{n\in\mathbb Z}(n-\tfrac{1}{2},n+\tfrac{1}{2}),\quad \pi^{-1}(V)=\bigcup_{n\in\mathbb Z}(n,n+1)$$

且 $\pi$ 在每个连通分支上都是同胚映射。

Definition. 拓扑空间 $X$ 的覆叠空间是一个拓扑空间 $\tilde X$ 配备覆叠映射 $p:\tilde X\to X$，满足

1. $p$ 是连续满射；
2. 存在开覆盖 $X=\bigcup_{\alpha}U_\alpha$，使得对任意 $\alpha$，$p^{-1}(U_\alpha)$ 是 $\tilde X$ 的开子集的不交并 $\bigsqcup_\beta V_{\alpha\beta}$，且 $p|_{V_{\alpha\beta}}:V_{\alpha\beta}\to U_\alpha$ 是同胚映射。

定义中的第二条是必要的。它强调了局部同胚的性质，意味着我们可以在局部上将原空间的结构提升到覆叠空间中讨论，比如提升道路或提升同伦等。不交并的条件确保了不同 “层” 之间的独立性。事实上，如果有交集，取它们的并集仍然满足同胚条件，因此不交并的条件并不失一般性，并且最大限度降低了对覆叠空间结构的要求。

在研究圆的基本群时，我们已经见过 $\mathbb R$ 是 $\mathbb S^1$ 的覆叠空间。我们的核心操作是在局部上逐步提升道路，从而将 $\mathbb S^1$ 上的道路提升到 $\mathbb R$ 上。接下来，我们将形式化这一过程，并推广到一般的覆叠空间。

# 提升引理

Definition. 设 $p:\tilde X\to X$ 是覆叠映射。给定连续映射 $f:Y\to X$，则连续映射 $\tilde f:Y\to \tilde X$ 是 $f$ 的提升，如果满足

$$p\circ \tilde f=f$$

# 道路提升引理

Lemma. 设 $p:\tilde X\to X$ 是覆叠映射，$x_0\in X$。若 $\gamma:I\to X$ 是以 $x_0$ 为起点的道路，且 $\tilde x_0\in p^{-1}(x_0)$，则存在唯一的道路 $\tilde\gamma:I\to \tilde X$，使得

$$p\circ \tilde \gamma=\gamma;\quad \tilde\gamma(0)=\tilde x_0$$

即如下交换图表成立：

Proof. 设 $X=\bigcup_\alpha U_\alpha$ 是开覆盖，使得 $p^{-1}(U_\alpha)=\bigsqcup_\beta V_{\alpha\beta}$，且 $p|_{V_{\alpha\beta}}:V_{\alpha\beta}\to U_\alpha$ 是同胚映射。由于 $I$ 紧，而 $\gamma^{-1}\circ p^{-1}(U_\alpha)$ 是 $I$ 的开覆盖，由 Lebesgue 数定理，存在 $\delta>0$，使得对任意 $t\in I$，都有

$$(t-\delta,t+\delta)\cap I\subset \gamma^{-1}\circ p^{-1}(U_\alpha)$$

对某个 $\alpha$ 成立。$I$ 是有限长度的，所以可以取有限个 $0=t_0<t_1<\cdots<t_n=1$。接下来可以逐段定义，不失一般性，设 $x_0\in U_{\alpha_0}$，以及原像 $\tilde x_0\in V_{\alpha_0\beta_0}$。则在 $[t_0,t_1]$ 上，根据同胚可以唯一提升

$$\tilde\gamma|_{[t_0,t_1]}=(p|_{V_{\alpha_0\beta_0}})^{-1}\circ \gamma|_{[t_0,t_1]}$$

归纳得证。逐段提升的过程用到了 $I$ 的紧性，以及其开覆盖是有重叠的，这样下一段的定义由上一段唯一决定。

# 同伦提升引理

Lemma. 设 $p:\tilde X\to X$ 是覆叠映射，$F:Y\times I\to X$ 是同伦映射。如果 $\tilde f:Y\to \tilde X$ 是 $F(y,0)$ 的提升，即满足

$$p\circ \tilde f(y)=F(y,0),\quad \forall y\in Y$$

则存在唯一的提升同伦映射 $\tilde F:Y\times I\to \tilde X$，使得

$$p\circ \tilde F=F;\quad \tilde F(y,0)=\tilde f(y),\ \forall y\in Y$$

即如下交换图表成立

Proof. 固定 $y_0\in Y$，则 $\{y_0\}\times I$ 是紧的。对于任意 $t\in I$，存在 $(a_t,b_t)\subseteq I$ 和邻域 $y_0\in N_t\subseteq Y$ 满足

$$F(N_t\times (a_t,b_t))\subseteq U_\alpha$$

对某个 $\alpha$ 成立。由 $I$ 的紧性，存在有限个 $0=t_0<t_1<\cdots<t_n=1$，构成开覆盖

$$\{y_0\}\times I\subseteq \bigcup_{i=0}^{n-1}N_{t_i}\times (a_{t_i},b_{t_i})$$

通过取交集，得到矩形区域

$$N_{y_0}=\bigcap _{i=0}^{n-1}N_{t_i}; \quad F(N_{y_0}\times (a_{t_i},b_{t_i}))\subseteq U_{\alpha_i};\quad \{y_0\}\times I\subseteq \bigcup_{i=0}^{n-1}N_{y_0}\times (a_{t_i},b_{t_i})$$

通过局部同胚，假设已知了 $N_{y_0}\times (a_{t_0},b_{t_0})$ 上一点的定义，则可以唯一提升 $N_{y_0}\times (a_{t_0},b_{t_0})$ 上的同伦映射。然后通过重叠区域，依次类推，直到定义完所有 $N_{y_0}\times (a_{t_i},b_{t_i})$ 上的同伦映射，得到唯一的提升

$$\tilde F:N_{y_0}\times I\to \tilde X,\quad p\circ \tilde F=F,\quad \tilde F|_{N_{y_0}\times \{0\}}=\tilde f|_{N_{y_0}}$$

对于所有的 $y$ 都可以这样操作，得到覆盖 $\{N_y\}_{y\in Y}$ 及其上的提升同伦映射。由于这些提升在重叠区域上一致，因此可以粘合得到唯一的提升同伦映射 $\tilde F:Y\times I\to \tilde X$。

# 回路提升引理

Theorem. 设 $p:\tilde X\to X$ 是覆叠映射，$p(\tilde x_0)=x_0$。那么诱导基本群同态

$$p_*:\pi_1(\tilde X,\tilde x_0)\to \pi_1(X,x_0)$$

是单射。设 $[\alpha]\in \pi_1(X,x_0)$，则 $[\alpha]\in \mathrm{Im}\ p_*$ 当且仅当 $\alpha$ 以 $\tilde x_0$ 为初值的提升 $\tilde \alpha$ 是回路。

Sketch Proof. 证明分为两部分。

(1) $p_*$ 是单射。只需要证明 $\ker p_*$ 平凡。设 $[\tilde f]\in \pi_1(\tilde X,\tilde x_0)$，且 $p_*([\tilde f])=e$。只需要证明 $[\tilde f]=e$。由于 $p_*([\tilde f])=e\in \pi_1(\tilde X,\tilde x_0)$。先考虑其投影 $f=p\circ \tilde f:I\to X$，因为

$$[f]=p_*([\tilde f])=e$$

所以 $f$ 同伦于常回路 $c_{x_0}$，即存在同伦映射 $F:I\times I\to X$，使得

$$F(s,0)=f(s),\quad F(s,1)=c_{x_0}(s),\quad F(0,t)=F(1,t)=x_0$$

由覆叠空间的同伦提升定理，存在唯一的提升同伦映射 $\tilde F:I\times I\to \tilde X$，使得

$$p\circ \tilde F=F;\quad \tilde F(s,0)=\tilde f(s)$$

由于 $\tilde F(0,t)$ 和 $\tilde F(1,t)$ 都是 $F(0,t)=F(1,t)=x_0$ 的提升，且初值相同，所以

$$\tilde F(0,t)=\tilde F(1,t)=\tilde x_0$$

另外，$\tilde F(s,1)$ 是 $F(s,1)=x_0$ 的一个提升，且初值为 $\tilde F(0,1)=\tilde x_0$，由唯一性可知

$$\tilde F(s,1)=c_{\tilde x_0}(s)$$

上面的证明过程可以在正方形 $I\times I$ 上画图理解。所以拼接起来

$$\tilde f\simeq \tilde F(0,t).\tilde F(s,1).\tilde F(1,t)= c_{\tilde x_0}$$

因此 $[\tilde f]=e$，所以 $p_*$ 是单射。

(2) 证明回路判据。如果 $\tilde f$ 是 $f$ 的一个提升，且 $\tilde f$ 是回路，则

$$p_*( [\tilde f])=[p\circ \tilde f]=[f]\in p_*(\pi_1(\tilde X,\tilde x_0))$$

反过来，如果 $[f]\in p_*(\pi_1(\tilde X,\tilde x_0))$，则取原像，知道存在 $\tilde f$ 是以 $\tilde x_0$ 为基点的回路，使得 $[f]=p_*([\tilde f])=[p\circ \tilde f]$。根据定义，存在同伦映射 $F:I\times I\to X$，使得

$$F(s,0)=f(s),\quad F(s,1)=p\circ \tilde f(s),\quad F(0,t)=F(1,t)=x_0$$

由覆叠空间的同伦提升定理，存在唯一的提升同伦映射 $\tilde F:I\times I\to \tilde X$，使得

$$p\circ \tilde F=F;\quad \tilde F(s,0)=\tilde f(s)$$

由于 $\tilde F(0,t)$ 和 $\tilde F(1,t)$ 都是 $F(0,t)=F(1,t)=x_0$ 的提升，且初值都是 $\tilde x_0$，所以

$$\tilde F(0,t)=\tilde F(1,t)=\tilde x_0$$

所以 $\tilde F(s,1)$ 是 $f(s)$ 的以 $\tilde x_0$ 为初值的提升，并且是回路。

# 应用：层数计数

Definition. 设 $p:\tilde X\to X$ 是覆叠映射，记覆叠空间在 $x\in X$ 处的层数为

$$\#p^{-1}(x)=\#\{\tilde x\in \tilde X:p(\tilde x)=x\}$$

其中层数可以是无限的。

因为对于任意 $x_0\in X$，由覆叠空间的定义，存在开邻域 $U$，使得 $p^{-1}(U)=\bigsqcup_\beta V_\beta$，且 $p|_{V_\beta}:V_\beta\to U$ 是同胚映射，所以对于任意 $x\in U$，都有

$$\#p^{-1}(x)=\#\{\beta:p^{-1}(U)=\bigsqcup_\beta V_\beta\}$$

因此

Lemma. 设 $p:\tilde X\to X$ 是覆叠映射，且 $X$ 连通，则覆叠空间在 $X$ 上的层数是常值的。称为关于覆叠空间 $p:\tilde X\to X$ 的层数，记为 $N(p,\tilde X)$。

Sketch Proof. 由连通性的定义，由于在每个开集 $U_\alpha$ 上层数是常值的，并且重合的开集上层数相同，所以层数在整个连通空间 $X$ 上是常值的。

Theorem. 设 $p:\tilde X\to X$ 是覆叠映射，且 $\tilde X,X$ 道路连通。那么覆叠空间的层数等于基本群像 $p_*(\pi_1(\tilde X,\tilde x_0))$ 在 $\pi_1(X,x_0)$ 中的指数，即

$$N(p,\tilde X)=[\pi_1(X,x_0):p_*(\pi_1(\tilde X,\tilde x_0))]$$

Sketch Proof. 设 $g,h$ 是以 $x_0$ 为基点的回路，且 $[h]\in H:=p_*(\pi_1(\tilde X,\tilde x_0))$。设 $\tilde g,\tilde h$ 是 $g,h$ 以 $\tilde x_0$ 为初值的提升回路。则由回路提升引理，$\tilde h$ 是回路，所以 $(\tilde h.\tilde g)(1)=\tilde g(1)$。设映射

$$\varphi:\{\text{coset } H[g]:g\in \pi_1(X,x_0)\}\to p^{-1}(x_0),\quad \varphi(H[g])=\tilde g(1)$$

因此 $\varphi$ 是良定义的。

(1) 说明 $\varphi$ 是满射。$\tilde X$ 是道路连通的，说明对任意 $x\in p^{-1}(x_0)$，存在 $\tilde g:I\to \tilde X$ 使得

$$\tilde g(0)=\tilde x_0,\quad \tilde g(1)=x$$

设 $g=p\circ \tilde g$，则 $[g]\in \pi_1(X,x_0)$，且 $\varphi(H[g])=x$。

(2) 说明 $\varphi$ 是单射。如果 $\varphi(H[g_1])=\varphi(H[g_2])$，则 $\tilde g_1(1)=\tilde g_2(1)$，从而 $\tilde g_1.\tilde g_2^{-1}$ 是以 $\tilde x_0$ 为初值的回路。由回路提升引理，$\tilde g_1.\tilde g_2^{-1}$ 是 $g_1.g_2^{-1}$ 以 $\tilde x_0$ 为初值的提升，并且是回路，则 $[g_1.g_2^{-1}]\in p_*(\pi_1(\tilde X,\tilde x_0))=H$。因此 $H[g_1]=H[g_2]$。

# 应用：提升判据

# 道路提升存在性判据

Theorem. 设 $p:\tilde X\to X$ 是覆叠映射，设 $p:\tilde x_0\mapsto x_0$。如果 $f:Y\to X,y_0\mapsto x_0$ 是连续映射，$Y$ 道路连通且局部道路连通。那么存在 $f$ 的提升存在，当且仅当

$$f_*(\pi_1(Y,y_0))\subseteq p_*(\pi_1(\tilde X,\tilde x_0))$$

Proof. 必要性。对提升 $f=p\circ \tilde f$ 作用同态算子 $*$ 即可。充分性

# 道路提升唯一性判据

Theorem. 设 $p:\tilde X\to X$ 是覆叠映射。如果 $f:Y\to X$ 是连续映射，$Y$ 连通。那么 $f$ 的提升中，任意两个提升要么相等，要么没有交集。

# 万有覆叠空间

覆叠空间的讨论，不必要求 $X$ 本身道路连通。但上述的道路提升引理和同伦提升引理，都只是在道路连通分支上进行，它们只是强调通过局部同胚的方法，可以将道路或同伦提升到覆叠空间中。下面给覆叠空间的条件进行加强。

Definition. $p:\tilde X\to X$ 是拓扑空间 $X$ 的覆叠空间。如果 $\pi_1(\tilde X)$ 平凡，则 $\tilde X$ 称为 $X$ 的万有覆叠空间。

不同于覆叠空间，万有覆叠空间是道路连通的，否则其基本群无法定义。所以覆叠空间可以是一层或多层的结构，而万有覆叠空间则是单层的结构（道路连通）。这样一来，对于覆叠空间的每一图册 $V_{\alpha\beta}$，其基本群也平凡。所以有如下刻画。

# 局部道路连通

Definition. $X$ 是局部道路连通的，如果对任意 $x\in X$ 及其邻域 $U$，存在道路连通的邻域 $V$，使得 $x\in V\subset U$。

Example. 以下局部道路连通，但不道路连通。

$$X=\{(x-2)^2+y^2\leq 1\}\cup \{(x+2)^2+y^2\leq 1\}$$

以下道路连通，但不局部道路连通。

$$Y=\bigcup_{n=1}^\infty \{(x,n^{-1}x):x\in[0,1]\}\cup \{(x,0):x\in[0,1]\}$$

其实还有拓扑学家耳环、梳子空间等经典例子。

Definition. $X$ 称为半局部简单连通的，如果对任意 $x\in X$，存在邻域 $U$，使得给定自然嵌入 $i:U\to X$，有

$$i_*(\pi_1(U,x))=\{e\}\subset \pi_1(X,x)$$

Example. 梳子空间是半局部简单连通的。

Lemma. 设 $p:\tilde X\to X$ 是万有覆叠空间，那么 $X$ 是半局部简单连通的。

Sketch Proof. 根据覆叠空间的定义，对于任意 $x\in X$，考虑 $X$ 对应的开覆盖中的开集 $x\in U$，则可以写为 $p^{-1}(U)=\bigsqcup_\beta V_\beta$，且 $p|_{V_\beta}:V_\beta\to U$ 是同胚映射。

接下来需要证明子空间 $U$ 的基本群平凡。任取 $x$ 的回路 $\gamma:I\to U$，则由道路提升引理，给定原像 $\tilde x_0\in p^{-1}(x)$ 后，存在唯一的提升道路 $\tilde\gamma:I\to \tilde X$，使得 $p\circ \tilde\gamma=\gamma$。由于 $\tilde X$ 的基本群平凡，$\tilde\gamma$ 同伦于常道路 $\tilde e$，即存在同伦映射 $\tilde F:I\times I\to \tilde X$，使得

$$\tilde F(s,0)=\tilde\gamma(s),\quad \tilde F(s,1)=\tilde e(s),\quad \tilde F(0,t)=\tilde F(1,t)=\tilde x_0$$

那么由同伦的性质，$p$ 是连续映射，所以

$$\tilde \gamma\mathop \simeq\limits_{\tilde F}c_{\tilde x_0}\implies \gamma=p\circ \tilde\gamma\mathop \simeq\limits_{p\circ \tilde F}p\circ c_{\tilde x_0}=c_x\implies i_*([\gamma])=e$$

# 万有覆叠的存在性

Theorem. 如果 $X$ 是道路连通、局部道路连通且半局部简单连通的拓扑空间，则存在 $X$ 的万有覆叠空间 $p:\tilde X\to X$。

Sketch Proof. 半局部简单连通保证了每个点都有合适的邻域，从而可以构造覆叠空间的局部结构。道路连通保证了覆叠空间的整体连通性，从而可以定义基本群。局部道路连通则确保了提升道路和同伦的过程是可行的。

(1) 首先，选择 $X$ 的一个基点 $x_0$，然后考虑道路同伦类（固定两端点）

$$\tilde X=\{[\gamma]:\gamma:I\to X,\ \gamma(0)=x_0\}$$

定义映射 $p$，因为 $X$ 是道路连通的，所以是满射

$$p:\tilde X\to X,\quad p([\gamma])=\gamma(1)$$

(2) 其次，明确 $X$ 的拓扑结构。定义集族，其中 $i:U\to X$ 是自然嵌入

$$\beta=\{U\subseteq X \text{ open}: U \text{path-connected, } i_*(\pi_1(U))=\{e\}\subseteq \pi_1(X)\}$$

由于 $X$ 是半局部单连通的，所以 $X=\bigcup_{U\in \beta}U$。接下来说明 $\beta$ 是 $X$ 的拓扑基。对于任意相交的 $U_1,U_2\in \beta$，选取 $x\in U_1\cap U_2$，则由局部道路连通性从，存在道路连通的邻域 $V$，使得 $x\in V\subset U_1\cap U_2$，而 $V$ 是道路连通空间，嵌入到 $X$ 上（下面 $i_*$ 指的是嵌入到 $X$，存在符号滥用）

$$i_*(\pi_1(V,x))\subseteq i_*(\pi_1(U_1,x))=\{e\}\subseteq \pi_1(X,x)$$

因此 $V\in \beta$，所以 $\beta$ 是拓扑基。从这个过程中可以看到，半局部单连通给出的开集，其道路连通子集也满足同样的性质。

我们希望 $p$ 是覆叠映射。因此需要证明连续，并且满足覆叠映射的局部同胚性质。

(3) 证明 $p$ 是连续满射。由于是构造覆叠空间，所以只需要定义合适的拓扑结构即可。取任意 $U\in \beta$ 和道路 $\gamma:I\to X$，满足 $\gamma(0)=x_0$ 以及 $\gamma(1)\in U$，定义子集

$$U_{[\gamma]}=\{[\gamma. \eta]:\eta:I\to U,\ \eta(0)=\gamma(1)\}$$

$U_{[\gamma]}$ 的意思是，给定终点落在 $U$ 上的道路 $\gamma$，对这个道路的终点随意延伸，生成新的道路，它们的等价类构成 $U_{[\gamma]}$。由于 $U$ 的道路连通性，$p:U_{[\gamma]}\to U$ 是满射。应用 $U$ 具备的半局部单连通的性质，$p:U_{[\gamma]}\to U$ 还是单射，从而是双射。

定义

$$\tilde \beta=\{U_{[\gamma]}:U\in \beta,\ \gamma:I\to X,\ \gamma(0)=x_0,\ \gamma(1)\in U\}$$

则 $\tilde \beta$ 给出了 $\tilde X$ 的一个覆盖，定义 $\tilde \beta$ 的元素为 $\tilde X$ 的开集。现在需要证明 $\tilde \beta$ 是拓扑基。取任意相交的 $U_{[\gamma_1]},V_{[\gamma_2]}\in \tilde \beta$，选取 $[\gamma]\in U_{[\gamma_1]}\cap V_{[\gamma_2]}$。

注意到，对于 $[\gamma']\in U_{[\gamma]}$，不妨设 $\gamma'=\gamma.\eta'$，则 $U_{[\gamma']}$ 中的元素形如 $[\gamma'.\eta]=[\gamma.\eta'.\eta]$，那么 $U_{[\gamma']}\subseteq U_{[\gamma]}$。反之亦然，所以 $U_{[\gamma]}=U_{[\gamma']}$。因此不依赖于 $\gamma$ 的选择，这是一种等价性。只要落点在 $U$ 上，借助半局部单连通性质就能处理。

因此 $U_{[\gamma_1]}=U_{[\gamma]},V_{[\gamma_2]}=V_{[\gamma]}$，所以回到 $X$ 空间上，取 $W\in \beta,W\subseteq U\cap V$，则

$$[\gamma]\in W_{[\gamma]}\subseteq U_{[\gamma]}\cap V_{[\gamma]}$$

这说明 $\tilde \beta$ 是拓扑基。由此定义的拓扑结构下，$p:\tilde X\to X$ 是连续满射。

此外，拓扑基 $\tilde \beta$ 的等价性说明了，不同的 $U_{[\gamma]}$ 之间要么相交，要么全不相交。因此，$p^{-1}(U)$ 可以写成不交并的形式

$$p^{-1}(U)=\bigsqcup_{[\gamma]:\gamma(1)\in U}U_{[\gamma]}$$

并且 $p|_{U_{[\gamma]}}:U_{[\gamma]}\to U$ 是同胚映射。

(4) 最后证明 $\tilde X$ 是万有覆叠空间，即是单连通的。设 $[\gamma]\in \tilde X,\gamma_t(s)=\gamma(ts),s\in I$，则

$$\varphi:I\to \tilde X,\quad \varphi(t)=[\gamma_t];\quad \varphi(0)=[c_{x_0}],\quad \varphi(1)=[\gamma]$$

所以 $\tilde X$ 是道路连通的。接下来证明其基本群平凡。只需考虑其中一点为基点的基本群 $\pi_1(\tilde X, [c_{x_0}])$。取任意以 $[c_{x_0}]$ 为基点的回路 $\tilde\gamma:I\to \tilde X$，则先投影为 $\gamma=p\circ \tilde\gamma:I\to X$，然后再提升回 $\tilde X$，得到满足如下的提升是唯一的

$$p\circ \tilde \gamma=\gamma;\quad \tilde\gamma(0)=[c_{x_0}]$$

但 $\varphi$ 也是满足上述条件的提升映射，所以 $\tilde\gamma=\varphi$。所以 $\varphi$ 是回路，说明 $\varphi(0)=\varphi(1)$，即 $[\gamma]=[c_{x_0}]$。因此 $\pi_1(\tilde X,[c_{x_0}])$ 平凡。

# 万有覆叠的子覆叠

Theorem. 设 $X$ 是道路连通、局部道路连通且半局部简单连通的拓扑空间。那么对任意子群 $H<\pi_1(X,x_0)$，存在覆叠空间 $p:X_H\to X$，使得

$$p_*(\pi_1(X_H,\tilde x_0))=H$$

对某一个 $\tilde x_0\in p^{-1}(x_0)$ 成立。

图像上就是

Sketch Proof. 设 $\tilde X$ 是根据前面定理构造的万有覆叠空间。我们需要做的就是将 $\tilde X$ 的结构进一步简化，应当想到商空间。

(1) 定义等价关系：对于任意 $[\gamma],[\gamma']\in \tilde X$，称 $[\gamma]\sim[\gamma']$，如果 $\gamma(1)=\gamma'(1)$ 并且 $[\gamma.\gamma'^{-1}]\in H$。因为 $H$ 是子群，所以 $\sim$ 是等价关系。定义商空间 $X_H$ 是粘合 $[\gamma],[\gamma']$ 满足 $[\gamma]\sim[\gamma']$ 的点得到的空间。由粘合映射 $\pi$ 诱导了覆叠映射 $p_H\circ \pi =p$，那么

$$p_H:X_H\to X,\quad p_H([[\gamma]])=\gamma(1)$$

这里的等价关系不再是全空间的道路同伦类，而是根据子群 $H$ 进行粘合的。

(2) 覆叠映射的条件一。由粘合映射 $\pi$ 和粘合空间的定义，$p_H$ 是连续满射。即对于任意 $U\subseteq X$ 开集，$p^{-1}(U)$ 是 $\tilde X$ 的开集，而 $\pi$ 是商映射，所以 $p_H^{-1}(U)$ 是 $X_H$ 的开集。

(3) 覆叠映射的条件二。对于任意 $[\gamma]\sim[\gamma']\in \tilde X$，由等价关系可知 $\gamma(1)=\gamma'(1)$，所以在 $X$ 上选取开集 $U\in \beta$，使得 $\gamma(1)\in U$。那么对任意 $\eta:I\to U$，满足 $\eta(0)=\gamma(1)$，即对道路 $\gamma,\gamma'$ 的延伸，都有

$$[\gamma.\eta]\sim[\gamma'.\eta]$$

这说明 $U_{[\gamma]},U_{[\gamma']}\in \tilde X$ 在每个对应的道路延伸下，都被粘合在一起了。所以它们在 $X_H$ 上的像是同一个开集，记为 $U_{[[\gamma]]}$。所以 $p_H^{-1}(U)$ 可以写成不交并的形式

$$p_H^{-1}(U)=\bigsqcup_{[[\gamma]]:\gamma(1)\in U}U_{[[\gamma]]}$$

并且 $p_{H}|_{U_{[[\gamma]]}}:U_{[[\gamma]]}\to U$ 是同胚映射，这是 $p$ 作为覆叠映射的性质传递下来的。满射是显然的，而单射则考虑被粘合在一起的那些层 $U_{[\gamma]},U_{[\gamma']},\ldots$，在 $\tilde X$ 上它们都和 $U$ 同胚，所以 $U$ 上取定一点后，它们的原像只能是其中一个点，而这些点在 $X_H$ 上被粘合在一起了，因为它们满足

$$p([\gamma_0])=p([\gamma_0'])=\cdots=\gamma_0(1)=\gamma'_0(1)=\cdots,\quad \gamma_0^{(\alpha)}\in U_{[\gamma^{(\alpha)}]}$$

所以 $[\gamma_0]\sim[\gamma_0']\sim \cdots$，因此 $p_H|_{U_{[[\gamma]]}}$ 是单射。而连续以及逆连续只需说明一个即可，因为 $\pi,p$ 对于开集的传递性质都是对称的，下面可以看出来。不妨说明 $p_H|_{U_{[[\gamma]]}}$ 是开覆盖。即对于任意 $W\subseteq U_{[[\gamma]]}$ 开集，由商映射的定义，$\pi^{-1}(W)$ 是 $\tilde X$ 的开集，而 $p$ 是覆叠映射，所以 $p(\pi^{-1}(W))$ 是 $X$ 的开集，而

$$p_H|_{U_{[[\gamma]]}}(W)=p_H|_{U_{[[\gamma]]}}\circ \pi(\pi^{-1}(W))=p|_{\bigcup_{\alpha}U_{[\gamma^{(\alpha)}]}}(\pi^{-1}(W))=p(\pi^{-1}(W))$$

所以 $p_H|_{U_{[[\gamma]]}}$ 是开映射，从而是同胚映射。

至此，我们证明了 $p_H:X_H\to X$ 是覆叠空间。接下来说明满足同构性质。

(4) 同构性质。设 $\gamma$ 是 $x_0\in X$ 的回路，$\phi:I\to \tilde X$ 是其提升道路。

\\\\\\

# 覆叠空间的分类

Definition. 设 $p_1:\tilde X_1\to X$ 和 $p_2:\tilde X_2\to X$ 是拓扑空间 $X$ 的两个覆叠空间。称 $p_1,p_2$ 同构，如果存在同胚映射 $f:\tilde X_1\to \tilde X_2$，使得

$$p_1=p_2\circ f$$

Theorem. 设 $X$ 是道路连通且局部道路连通的拓扑空间，那么两个道路连通的覆叠空间 $p_1:\tilde X_1\to X$ 和 $p_2:\tilde X_2\to X$ 通过同胚 $f:\tilde X_1\to \tilde X_2$ 将 $\tilde x_1\in p_1^{-1}(x_0)$ 映射到 $\tilde x_2\in p_2^{-1}(x_0)$，当且仅当

$$p_{1*}(\pi_1(\tilde X_1,\tilde x_1))=p_{2*}(\pi_1(\tilde X_2,\tilde x_2))$$

Theorem. 设 $X$ 是道路连通、局部道路连通且半局部单连通的拓扑空间，那么

1. 保持基点的道路连通覆叠空间 $p:(\tilde X,\tilde x_0)\to (X,x_0)$ 的同构类，与 $\pi_1(X,x_0)$ 的子群之间存在一个双射对应：

$$(p:(\tilde X,\tilde x_0)\to (X,x_0))\longleftrightarrow p_*(\pi_1(\tilde X,\tilde x_0))<\pi_1(X,x_0)$$

2. 如果忽略基点，那么这个对应给出道路连通覆叠空间 $p:\tilde X\to X$ 的同构类，与 $\pi_1(X,x_0)$ 的子群的共轭类之间存在一个双射对应：

$$(p:\tilde X\to X)\longleftrightarrow [p_*(\pi_1(\tilde X,\tilde x_0))]$$

#

Theorem. 设 $X$ 是道路连通且局部道路连通的拓扑空间，$p:(\tilde X,\tilde x_0)\to (X,x_0)$ 是 $X$ 的覆叠空间，$H:=p_*(\pi_1(\tilde X,\tilde x_0))\subseteq \pi_1(X,x_0)$。那么

1. $p$ 是正规覆叠空间，当且仅当 $H$ 是 $\pi_1(X,x_0)$ 的正规子群；
2. $G(\tilde X)\cong N(H)/H$，其中 $N(H)$ 是 $\pi_1(X,x_0)$ 中 $H$ 的正规化子。

设 $G$ 是一个作用在 $Y$ 上的拓扑群，我们考虑以下条件。

Condition. 对于任意 $y\in Y$，存在 $y$ 的开邻域 $U$，使得对于任意 $g_1\neq g_2\in G$，都有 $g_1(U)\cap g_2(U)=\varnothing$。

注意到，群作用 $G(\tilde X)\curvearrowright \tilde X$ 满足上述条件。

因为对于任意 $\tilde x\in \tilde X$，选取 $\tilde x$ 的邻域 $\tilde U$，使得 $p|_{\tilde U}:\tilde U\to p(\tilde U):=U\subseteq X$ 是同胚。假设存在 $g_1\neq g_2\in G$ 使得 $g_1(\tilde U)\cap g_2(\tilde U)\neq \varnothing$，则存在 $\tilde x_1,\tilde x_2\in \tilde U$，使得 $g_1(\tilde x_1)=g_2(\tilde x_2)$。所以

$$\tilde x_1=g_1^{-1}g_2(\tilde x_2)\implies \tilde x_1,\tilde x_2\in p^{-1}(x)$$

对某个 $x\in U$ 成立。而对于覆叠空间，$p^{-1}(x)\cap \tilde U$ 是单点集，所以 $\tilde x_1=\tilde x_2$，从而 $g_1^{-1}g_2$ 有不动点 $\tilde x_1$，注意到 $G(\tilde X)$ 是自由作用的，所以 $g_1^{-1}g_2=e$，从而 $g_1=g_2$，这与假设矛盾。