通过基本群，可以探测出 $\mathbb {R}^2$ 上挖去一个点的空间与 $\mathbb {R}^2$ 本身的不同。

$$\pi_1(\mathbb {R}^2 \setminus \{0\}) \cong \mathbb {Z}, \quad \pi_1(\mathbb {R}^2) \cong \{0\}.$$

但是如果我们在 $\mathbb {R}^3$ 上挖去一个点，基本群并不能区分 $\mathbb {R}^3 \setminus \{0\}$ 和 $\mathbb {R}^3$，因为它们的基本群都是平凡群。这时，我们需要更强大的工具来区分这些空间。同调理论就是这样一种工具。可以说基本群是低维的拓扑不变量，而同调群则是更高维的拓扑不变量。

对于高维不变量，大致有两类：

一类是 $\pi_n(X):\mathbb S^n\to X$ 的同伦类，称为 $n$ - 维基本群，但是计算起来非常困难；

二类是同调群 $H_n(X)$，具体又分为单纯同调群、奇异同调群和细胞同调群。

Example. $0$ - 单形就是一个点，$1$ - 单形是一个有向线段，$2$ - 单形是一个有向三角形，$3$ - 单形是一个有向四面体。

Proof. 观察是关键的，证明是简单的。

$$\begin{array}{ll} \partial_{n-1}\partial_n(\sigma)&=\displaystyle\partial_{n-1}\left(\sum_{i=0}^n (-1)^i \sigma|_{[v_0,\ldots,\hat{v_i},\ldots,v_n]}\right)\\ \\ &\displaystyle=\sum_{j<i}(-1)^{i+j}\sigma|_{[v_0,\ldots,\hat{v_j},\ldots,\hat{v_i},\ldots,v_n]}+\sum_{j>i}(-1)^{i+j-1}\sigma|_{[v_0,\ldots,\hat{v_i},\ldots,\hat{v_j},\ldots,v_n]}=0 \end{array}$$

Proof. 对于任意 $\Delta^n$，存在唯一的奇异单形 $\sigma_n:\Delta^n\to \text{point}$，因为像空间只有一个点。所以 $C_n(\text{point})$ 是由 $\sigma$ 生成的自由 Abel 群，即

$$C_n(\text{point})\cong \mathbb Z,\quad \forall n\ge0$$

对于边界算子，有

$$\partial_n(\sigma_n)=\sum^n_{i=0}(-1)^i \sigma_{n-1}=\begin{cases}0,&n\text{ even};\\\sigma_{n-1},&n\text{ odd}.\end{cases}$$

所以链复形为

$$\cdots \xrightarrow{} \mathbb Z \xrightarrow{0} \mathbb Z \xrightarrow{\cong } \mathbb Z \xrightarrow{0} \mathbb Z\xrightarrow{\cong } \mathbb Z \xrightarrow{0} \mathbb Z\xrightarrow{}0$$

因此，计算同调群。在 $n\geq 1$ 时，$\ker\partial_n=\mathrm{Im}\partial_{n+1}$，所以

$$H_n(\text{point})=\ker\partial_n/\operatorname{Im}\partial_{n+1}=\begin{cases}\mathbb Z,&n=0;\\0,&n>0.\end{cases}$$

Proof.

(1) 先证明道路连通分支和全空间的关系。因为连续映射将道路连通空间映射到道路连通空间，所以每个奇异单形的像都包含在某个道路连通分支中，即

$$\sigma(\Delta^n)\subseteq X_\alpha,\quad \text{for some }\alpha\in A.$$

因此，奇异链群有直和分解

$$C_n(X)= \bigoplus_{\alpha\in A} C_n(X_\alpha).$$

进一步，因为边界算子对直和分解是兼容的，即

$$\partial_n(C_n(X_\alpha))\subseteq C_{n-1}(X_\alpha)$$

所以边界算子具有直和分解

$$\ker \partial _n=\bigoplus_{\alpha\in A} \ker \partial_n|_{C_n(X_\alpha)},\quad \operatorname{Im}\partial_{n+1}\cong \bigoplus_{\alpha\in A} \operatorname{Im}\partial_{n+1}|_{C_{n+1}(X_\alpha)}.$$

这就说明

$$H_n(X)=\bigoplus_{\alpha\in A} H_n(X_\alpha).$$

商群的过程根据等价关系的定义 $x\sim y \iff x-y\in B_n(X)$ 直接得到。

(2) 再求解道路连通空间的 $H_0=C_0(X)/\operatorname{Im}\partial_1$。构造群同态

$$\varepsilon:C_0(X)\to \mathbb Z,\quad \varepsilon\left(\sum_i n_i \sigma_i\right)=\sum_i n_i$$

这是满射，接下来证明 $\ker \varepsilon=\operatorname{Im}\partial_1$，从而由第一同构定理得到

$$H_0(X)=C_0(X)/\operatorname{Im}\partial_1\cong \mathbb Z.$$

对于任意 $\sigma\in C_1(X)$，有

$$\varepsilon(\partial_1 \sigma)=\varepsilon(\sigma|_{[v_1]}-\sigma|_{[v_0]})=1-1=0$$

所以 $\operatorname{Im}\partial_1\subseteq \ker \varepsilon$。反过来

$$\sum_i n_i \sigma_i\in \ker \varepsilon \implies \sum_i n_i=0$$

因为 $\sigma\in C_0$ 将点 $\Delta^0$ 映射到 $X$ 中的某个点 $x_0$，因此

$$\sum_i n_i \sigma_i=\sum_{n_i>0} n_i(\sigma_i - \sigma_{x_0}) - \sum_{n_i<0} (-n_i)(\sigma_i - \sigma_{x_0})$$

设 $r_i\in C_1$，满足 $r_i(v_0)=x_0$，$r_i(v_1)=\sigma_i(v_0)$，则

$$\sigma_i - \sigma_{x_0}=\partial_1 r_i\implies \sum_i n_i \sigma_i\in \operatorname{Im}\partial_1.$$

所以 $\ker \varepsilon\subseteq \operatorname{Im}\partial_1$，证毕。

Proof. 直接计算即可，再由线性扩展得到

$$\begin{array}{ll} f_\#\partial_n(\sigma)&\displaystyle=f_\#\left(\sum_{i=0}^n (-1)^i \sigma|_{[v_0,\ldots,\hat{v_i},\ldots,v_n]}\right)\\ &\displaystyle=\sum_{i=0}^n (-1)^i f\circ \sigma|_{[v_0,\ldots,\hat{v_i},\ldots,v_n]}\\[6pt] &=\displaystyle\partial_n(f\circ \sigma)\\[6pt] &=\displaystyle\partial_n f_\#(\sigma) \end{array}$$

进一步，如果 $\alpha\in Z_n(X)$，则

$$\partial_n f_\#(\alpha)=f_\#\partial_n(\alpha)=f_\#(0)=0\implies f_\#:\text{cycles}\to \text{cycles}.$$

同样地，如果 $\beta\in B_n(X)$，则存在 $\gamma\in C_{n+1}(X)$，使得 $\beta=\partial_{n+1}(\gamma)$，所以

$$f_\#(\beta)=f_\#\partial_{n+1}(\gamma)=\partial_{n+1} f_\#(\gamma)\in B_n(Y)\implies f_\#: \text{boundaries}\to \text{boundaries}.$$

因此，$f$ 在链群上的诱导同态 $f_\#$ 在循环群和边界群上都有诱导同态，从而在同调群上也有诱导同态。

Proof. 上述诱导同态是良定义的。设 $[\alpha]=[\alpha']\in H_n(X)$，则 $\alpha-\alpha'\in B_n(X)$，所以存在 $\beta\in C_{n+1}(X)$，使得 $\alpha-\alpha'=\partial_{n+1}(\beta)$。因此

$$f_\#(\alpha)-f_\#(\alpha')=f_\#(\alpha-\alpha')=f_\#\partial_{n+1}(\beta)=\partial_{n+1} f_\#(\beta)\in B_n(Y)$$

Proof. 只需验证 (3)(4) 即可。对于 (3)，任意 $\alpha\in Z_n(X)$，有

$$(g\circ f)_*([\alpha])=[(g\circ f)_\#(\alpha)]=[g_\#(f_\#(\alpha))]=g_*([f_\#(\alpha)])=g_*(f_*([\alpha])).$$

对于 (4)，任意 $\alpha\in Z_n(X)$，有

$$(\mathrm{id}_X)_*([\alpha])=[(\mathrm{id}_X)_\#(\alpha)]=[\alpha]=\mathrm{id}_{H_n(X)}([\alpha]).$$

Proof. 设 $F:X\times I\to Y$ 是 $f$ 和 $g$ 之间的同伦映射。考虑将 $\Delta^n\times I$ 细分为 $n+1$ 个 $n+1$ - 单形的标准划分。这里设

$$\Delta^n\times \{0\}=[v_0,\ldots,v_n],\quad \Delta^n\times \{1\}=[w_0,\ldots,w_n]$$

使得 $v_i,w_i$ 分别是 $\Delta^n\times I$ 的底面和顶面的顶点，在投影算子下的像是对应的。注意到棱柱 $\Delta^n\times I$ 确实可以拆解成 $n+1$ 个 $n+1$ - 单形（棱锥），下面严格说明。不妨先设重心坐标线性映射

$$\varphi_i:\Delta^{n}\to I,\quad \varphi_i\left(\sum_{j=0}^n t_j e_j\right)=\sum_{j=i+1}^n t_j$$

那么有 $0=\varphi_n\le \varphi_{n-1}\le \cdots \le \varphi_0\leq \varphi_{-1}=1$，且 $\varphi_i$ 的图像是 $\Delta^n\times I$ 的一个 $n$ - 单形，是

$$[v_0,\ldots,v_i,w_{i+1},\ldots,w_n].$$

这样，棱柱 $\Delta^n\times I$ 被划分为 $n+1$ 个 $n+1$ - 单形

$$[v_0,\ldots,v_i,w_{i},\ldots,w_n],\quad i=0,1,\ldots,n.$$

则对于 $\sigma\in C_n(X)$，定义棱柱算子，对任意 $n$ - 单形 $\sigma:\Delta^n\to X$，定义

$$P:C_n(X)\to C_{n+1}(Y),\quad P(\sigma)=\sum_{i=0}^n (-1)^i F\circ (\sigma\times \mathrm{id}_I)|_{[v_0,\ldots,v_i,w_{i},\ldots,w_n]}.$$

其中 $w_i$ 是 $\Delta^n\times I$ 顶面上的顶点，$v_i$ 是底面上的顶点。即满足复合关系，$F(\sigma,t)$ 描述了单形 $\sigma$ 在同伦映射 $F$ 下在 $X$ 中随时间 $t$ 的变化过程

$$\Delta^n\times I\xrightarrow{\sigma\times \mathrm{id}_I} X\times I \xrightarrow{F} Y.$$

将 $\sigma\times \mathrm{id}_I$ 限制在 $\Delta^n\times I$ 的每个 $n+1$ - 单形 $[v_0,\ldots,v_i,w_{i},\ldots,w_n]$ 上，再通过 $F$ 映射到 $Y$ 中，得到一个奇异 $n+1$ - 单形

$$\Delta^{n+1}\xrightarrow{}\sigma\times \mathrm{id}_I|_{[v_0,\ldots,v_i,w_{i},\ldots,w_n]}\xrightarrow{F} Y.$$

然后加上交替符号，得到 $P(\sigma)$。线性扩展到 $C_n(X)$ 上。现在希望证明

$$\partial P=g_\# - f_\# - P\partial.$$

其中 $\partial P$ 是总边界，$g_\# - f_\#$ 是上下底面的边界，$P\partial$ 是侧面的边界。计算可得

$$\begin{cases}\begin{array}{ll} \partial P(\sigma)&\displaystyle=\sum_{j\leq i}(-1)^i(-1)^j F\circ (\sigma\times \mathrm{id}_I)|_{[v_0,\ldots,\hat{v_j},\ldots,v_i,w_{i},\ldots,w_n]}\\ &\displaystyle+\sum_{j\geq i}(-1)^i(-1)^{j+1} F\circ (\sigma\times \mathrm{id}_I)|_{[v_0,\ldots,v_i,w_{i},\ldots,\hat{w_j},\ldots,w_n]}\end{array}\\ \\ \begin{array}{ll}P\partial (\sigma)&\displaystyle=\sum_{k=0}^n (-1)^k P\left(\sigma|_{[v_0,\ldots,\hat{v_k},\ldots,v_n]}\right)\\&\displaystyle=\sum_{k=0}^n\sum^n_{i=0}(-1)^{i+k} F\circ (\sigma\times \mathrm{id}_I)|_{[v_0,\ldots,\hat{v_k},\ldots,v_{i},w_{i},\ldots,(\hat {w_k}),\ldots,w_n]}\\&\displaystyle=\sum_{k>i}(-1)^{i+k-1} F\circ (\sigma\times \mathrm{id}_I)|_{[v_0,\ldots, \hat{v_k},\ldots,v_{i},w_{i},\ldots,w_n]}\\ &+\displaystyle \sum_{k<i}(-1)^{i+k} F\circ (\sigma\times \mathrm{id}_I)|_{[v_0,\ldots,v_{i},w_{i},\ldots,\hat {w_k},\ldots,w_n]} \end{array}\\ \\ \begin{array}{ll}g_\#(\sigma)&=F\circ (\sigma\times \mathrm{id}_I)|_{[\hat {v_0},w_0,\ldots,w_n]}=F\circ (\sigma\times \mathrm{id}_I)|_{[w_0,\ldots,w_n]}\\ \\ f_\#(\sigma)&=F\circ (\sigma\times \mathrm{id}_I)|_{[v_0,\ldots,v_n,\hat{w_n}]}=F\circ (\sigma\times \mathrm{id}_I)|_{[v_0,\ldots,v_n]}\end{array}\end{cases}$$

当 $\partial P(\sigma)$ 的两个和式中的项满足 $i=j$ 时，分别对应

$$\sum_{i=j=k}F\circ (\sigma\times \mathrm{id}_I)|_{[v_0,\ldots,v_{k-1},w_{k},\ldots,w_n]}$$

符号相反的两项，相互抵消，只剩下 $g_\#(\sigma)-f_\#(\sigma)$。而 $P\partial(\sigma)$ 中求和式不会存在 $k=i$ 的情况，因为

$$[v_0,\ldots,\hat{v_k},\ldots,v_{i},w_{i},\ldots,(\hat {w_k}),\ldots,w_n]$$

中如果 $k=i$，则顶点 $w_k$ 和 $v_i$ 都被去掉了，导致不是一个 $n$ - 单形。所以剩下的项正好是 $\partial P(\sigma)$ 中 $i\ne j$ 的项。因此，得证。对于 $\alpha\in C_n(X)$，有

$$\partial P(\alpha)=g_\#(\alpha)-f_\#(\alpha)- P\partial(\alpha).$$

如果 $\alpha\in Z_n(X)$，则 $\partial(\alpha)=0$，所以

$$g_\#(\alpha)-f_\#(\alpha)=\partial P(\alpha)\in B_n(Y)$$

从而

$$g_*([\alpha])=[g_\#(\alpha)]=[f_\#(\alpha)]=f_*([\alpha]).$$

Proof. 设 $f:X\to Y$ 和 $g:Y\to X$ 是同伦等价映射，则 $g\circ f\simeq \mathrm{id}_X$ 和 $f\circ g\simeq \mathrm{id}_Y$。 所以由上定理，有

$$(g\circ f)_*=\mathrm{id}_{H_n(X)},\quad (f\circ g)_*=\mathrm{id}_{H_n(Y)}.$$

因此，$f_*:H_n(X)\to H_n(Y)$ 和 $g_*:H_n(Y)\to H_n(X)$ 是互为逆映射的同构。